Théorème de Rellich

Résumé

Le théorème de Rellich-Kondrachov est un théorème d'analyse, la branche des mathématiques qui est constituée du calcul différentiel et intégral et des domaines associés. Si est un ouvert borné de classe de régularité , alors de toute suite bornée de on peut extraire une sous-suite convergente dans (on dit que l'injection canonique de dans est compacte). On se place dans . désigne un espace de Sobolev. désigne un espace Lp avec p = 2. Le caractère de a un sens particulier : il s'agit de la régularité du bord. L'inclusion de dans n'est pas, elle, compacte. Certains auteurs utilisent le nom de "théorème de Rellich-Kondrachov" pour le théorème de prolongement de Sobolev qui généralise celui de cet article. La preuve se base sur le théorème de Fréchet-Kolmogorov qui caractérise les sous-ensembles relativement compacts de . Rappelons que est un espace de Hilbert lorsque muni du produit hermitien suivant : (où dénote le gradient, le produit scalaire usuel entre et dénote le complexe conjugé). Dès lors, comme toute suite faiblement convergente est bornée, le théorème de Rellich implique que toute suite faiblement convergente dans possède une sous-suite qui converge fortement dans (autrement dit, qui converge pour la topologie induite par la norme sur ). En outre, le théorème de Rellich–Kondrachov peut être utilisé pour prouver l'inégalité de Poincaré. « On certain properties of functions in the space Lp », Dokl. Akad. Nauk SSSR, vol. 48, 1945, p.

Source officielle

https://fr.wikipedia.org/wiki/Théorème_de_Rellich

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