Concept

Somme restreinte d'ensembles

Résumé
En théorie additive des nombres et en combinatoire, une somme restreinte d'ensembles un ensemble de la forme S={a_1+\cdots+a_n~|~a_1\in A_1,\ldots,a_n\in A_n\text{ et }(a_1,\ldots,a_n)\notin B}, où A, … , A sont des parties d'un groupe abélien G et B est une partie de G. Le groupe G considéré est souvent le groupe additif d'un anneau commutatif, comme l'anneau ℤ des entiers ou un anneau ℤ/nℤ. Si l'ensemble B qu'on exclut est vide, S est simplement la somme d'ensembles usuelle A + … + A (notée nA si tous les A sont égaux à un même ensemble A). Si B est l'ensemble des n-uplets d'éléments non tous distincts, alors S est noté A_1\dotplus\cdots\dotplus A_n, ou encore n^{\wedge} A lorsque tous les A sont égaux à A. Théorème de Cauchy-Davenport Démontré par Augustin Louis Cauchy et redécouvert par Harold Davenport qui s'aperçut plus tard de l'antériorité de Cauchy, ce théorème assure que pour tout nombre premier p et pour toutes par
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