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Concept
Matrice de Lehmer
Résumé
En mathématiques, en particulier en théorie des matrices, la matrice de Lehmer d'ordre est la matrice symétrique constante définie par :
De manière équivalente, elle peut être définie par :
Elles sont nommées d'après Derrick Henry Lehmer, qui a posé dans une revue le problème du calcul de leur inverse.
Les matrices de Lehmer d'ordre 2, 3 et 4 et leurs inverses sont les suivantes :
De manière plus générale, on a :
Si et sont les matrices de Lehmer d'ordre et , et si , alors est une sous-matrice de .
Les valeurs des éléments d'une matrice de Lehmer tendent vers 0 en s'éloignant de la diagonale, où tous les éléments sont égaux à 1.
Pour tout ordre, les matrices de Lehmer sont symétriques définies positives, et donc toujours inversibles. L'inverse d'une matrice de Lehmer est une matrice tridiagonale, dont les diagonales non principales ont des entrées strictement négatives. Si et sont les matrices de Lehmer d'ordre et , et si , alors l'inverse est une sous-matrice de , à l'exception de l'élément qui n'est pas égal à .
Les valeurs propres de la matrices de Lehmer d'ordre sont
La trace de la matrice de Lehmer d'ordre est égale à , et son déterminant est égal à
où C désigne le n nombre de Catalan.
Les matrices de Lehmer sont utilisées dans le traitement du signal et comme cas tests dans les algorithmes d'inversion de matrices.
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