Concept

Q-analogue de l'identité de Vandermonde

Résumé
En mathématiques, plus précisément en combinatoire, le q-analogue de l'identité de Vandermonde (ou formule de convolution) s'écrit, en utilisant la notation standard des coefficients q-binomiaux : : \binom{m + n}{k}{!!q} =\sum{i+j=k} \binom{m}{i}{!!q} \binom{n}{j}{!!q} q^{(m-i)j}= \sum_{j} \binom{m}{k - j}{!!q} \binom{n}{j}{!!q} q^{(m-k+j)j}. Les contributions non nulles à cette somme proviennent des valeurs de j pour lesquelles les coefficients q-binomiaux sont non nuls, c'est-à-dire \max(0,k-m)\leqslant j \leqslant \min(n,k). Démonstration La preuve habituelle de l'identité de Vandermonde simple consiste à développer le produit (1 + X)^m (1 + X)^n de deux manières différentes. À la suite de Stanley , on peut procéder de manière similaire ; d'après le q-analogue de la formule du binôme, on a : : \prod_{k=0}^{m+n-1} (1+q^kX)=\sum_{k=0}^{m+n} q^{\frac{k(k-1)}2} {m+n \choose k}_q X^k . Mais
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