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Concept
Q-analogue de l'identité de Vandermonde
Résumé
En mathématiques, plus précisément en combinatoire, le q-analogue de l'identité de Vandermonde (ou formule de convolution) s'écrit, en utilisant la notation standard des coefficients q-binomiaux :
Les contributions non nulles à cette somme proviennent des valeurs de j pour lesquelles les coefficients q-binomiaux sont non nuls, c'est-à-dire .
La preuve habituelle de l'identité de Vandermonde simple consiste à développer le produit de deux manières différentes. À la suite de Stanley , on peut procéder de manière similaire ; d'après le q-analogue de la formule du binôme, on a :
Mais on peut aussi écrire :
soit :
En identifiant les termes en , et posant , on obtient :
ce qui donne le résultat annoncé en simplifiant l'exposant de q.
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