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Concept
Théorème de Lindelöf
Résumé
En mathématiques, le théorème de Lindelöf est un résultat d'analyse complexe, du nom du mathématicien finlandais Ernst Leonard Lindelöf. Il énonce qu'une fonction holomorphe sur une demi-bande dans le plan complexe, bornée sur sa frontière, et ne croissant pas "trop vite" dans la direction non bornée de la bande est en fait bornée sur toute la bande. Le résultat est utile dans l'étude de la fonction zêta de Riemann, et est un cas particulier du principe de Phragmén–Lindelöf. Le théorème de Lindelöf est analogue au théorème des trois droites d'Hadamard.
Soit Ω une demi-bande du plan complexe:
Supposons que ƒ est holomorphe (i.e. analytique) sur Ω et qu'existent M, A et B telles que
et
Alors f est bornée par M sur Ω entier:
Soit appartenant à . Soient , un entier et vérifiant . En appliquant le principe du maximum à la fonction sur le rectangleon obtient , c'est-à-dire, . En faisant , on en déduit comme voulu.
Source officielle
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