Concept

Formule de Riemann-von Mangoldt

Résumé
En mathématiques, la formule de Riemann-von Mangoldt, du nom de Bernhard Riemann et Hans Carl Friedrich von Mangoldt, décrit la distribution des zéros de la fonction zêta de Riemann. La formule indique que le nombre N ( T ) de zéros de la fonction zêta avec une partie imaginaire supérieure à 0 et inférieure ou égale à T satisfait N(T)=\frac{T}{2\pi}\ln{\frac{T}{2\pi}}-\frac{T}{2\pi}+O(\ln{T}). Cette formule a été conjecturée par Riemann dans son mémoire Sur le nombre d'amorces inférieures à une ampleur donnée (1859) et a finalement été prouvée par von Mangoldt en 1895. Backlund donne une forme explicite de l'erreur pour tout T supérieur à 2 : \left\vert{ N(T) - \left({\frac{T}{2\pi}\ln{\frac{T}{2\pi}}-\frac{T}{2\pi} } - \frac{7}{8}\right)}\right\vert < 0.137,\ln T + 0.443,\ln(\ln,T) + 4.350. Con
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