Catégorie discrète

En théorie des catégories, une branche des mathématiques, une catégorie discrète est une catégorie dont les seuls morphismes sont les identités : homC(X, X) = {idX} pour tout objet X ; homC(X, Y) = ∅ pour tous objets X ≠ Y. L'existence des identités étant imposée par la définition de catégorie, on peut reformuler ce qui précède par une condition sur la cardinalité des ensembles de morphismes : | hom C ( X, Y ) | vaut 1 lorsque X = Y et 0 lorsque X ≠Y . Autrement dit, le nombre de morphismes de chaque ensembles de morphismes est minimal. Certains auteurs adoptent une définition plus faible d'une catégorie discrète : une catégorie est dite discrète lorsqu'elle est équivalente à une catégorie vérifiant les axiomes énoncés ci-dessus. Toute classe peut être considérée comme une catégorie discrète en lui ajoutant les identités. Toute sous-catégorie d'une catégorie discrète est discrète. Une catégorie est discrète si et seulement si toutes ses sous-catégories sont pleines. Le produit d'une famille d'objets est définit par la limite d'un foncteur d'une catégorie discrète dans une catégorie quelconque. De manière duale, la somme d'une famille d'objets est la colimite d'un foncteur d'une catégorie discrète dans une catégorie quelconque.

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Diagramme (théorie des catégories)

En théorie des catégories, un diagramme est une collection d'objets et de flèches d'une catégorie donnée. En principe, un diagramme n'est pas un objet mathématique mais seulement une figure, destinée à faciliter la lecture d'un raisonnement. En pratique, on se sert souvent des diagrammes comme de symboles abréviateurs, qui évitent de nommer tous les objets et les flèches que l'on veut considérer; on dit souvent que "considérons le diagramme ci-dessus" au lieu de dire par exemple dans la catégorie des ensembles: "considérons quatre ensembles et une application de dans .

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