Diagonal functor

In , a branch of mathematics, the diagonal functor is given by , which maps as well as morphisms. This functor can be employed to give a succinct alternate description of the product of objects within the : a product is a universal arrow from to . The arrow comprises the projection maps. More generally, given a , one may construct the , the objects of which are called . For each object in , there is a constant diagram that maps every object in to and every morphism in to . The diagonal functor assigns to each object of the diagram , and to each morphism in the natural transformation in (given for every object of by ). Thus, for example, in the case that is a with two objects, the diagonal functor is recovered. Diagonal functors provide a way to define and colimits of diagrams. Given a , a natural transformation (for some object of ) is called a for . These cones and their factorizations correspond precisely to the objects and morphisms of the , and a limit of is a terminal object in , i.e., a universal arrow . Dually, a colimit of is an initial object in the comma category , i.e., a universal arrow . If every functor from to has a limit (which will be the case if is ), then the operation of taking limits is itself a functor from to . The limit functor is the right-adjoint of the diagonal functor. Similarly, the colimit functor (which exists if the category is cocomplete) is the left-adjoint of the diagonal functor. For example, the diagonal functor described above is the left-adjoint of the binary and the right-adjoint of the binary coproduct functor. Other well-known examples include the , which is the limit of the , and the terminal object, which is the limit of the empty category.

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En théorie des catégories, un diagramme est une collection d'objets et de flèches d'une catégorie donnée. En principe, un diagramme n'est pas un objet mathématique mais seulement une figure, destinée à faciliter la lecture d'un raisonnement. En pratique, on se sert souvent des diagrammes comme de symboles abréviateurs, qui évitent de nommer tous les objets et les flèches que l'on veut considérer; on dit souvent que "considérons le diagramme ci-dessus" au lieu de dire par exemple dans la catégorie des ensembles: "considérons quatre ensembles et une application de dans .

En théorie des catégories, une branche des mathématiques, une catégorie discrète est une catégorie dont les seuls morphismes sont les identités : homC(X, X) = {idX} pour tout objet X ; homC(X, Y) = ∅ pour tous objets X ≠ Y. L'existence des identités étant imposée par la définition de catégorie, on peut reformuler ce qui précède par une condition sur la cardinalité des ensembles de morphismes : | hom C ( X, Y ) | vaut 1 lorsque X = Y et 0 lorsque X ≠Y . Autrement dit, le nombre de morphismes de chaque ensembles de morphismes est minimal.

In mathematics, a comma category (a special case being a slice category) is a construction in . It provides another way of looking at morphisms: instead of simply relating objects of a to one another, morphisms become objects in their own right. This notion was introduced in 1963 by F. W. Lawvere (Lawvere, 1963 p. 36), although the technique did not become generally known until many years later. Several mathematical concepts can be treated as comma categories. Comma categories also guarantee the existence of some s and colimits.

This course will provide an introduction to model category theory, which is an abstract framework for generalizing homotopy theory beyond topological spaces and continuous maps. We will study numerous