In projective geometry, the circular points at infinity (also called cyclic points or isotropic points) are two special points at infinity in the complex projective plane that are contained in the complexification of every real circle.
A point of the complex projective plane may be described in terms of homogeneous coordinates, being a triple of complex numbers (x : y : z), where two triples describe the same point of the plane when the coordinates of one triple are the same as those of the other aside from being multiplied by the same nonzero factor. In this system, the points at infinity may be chosen as those whose z-coordinate is zero. The two circular points at infinity are two of these, usually taken to be those with homogeneous coordinates
(1 : i : 0) and (1 : −i : 0).
Let A. B. C be the measures of the vertex angles of the reference triangle ABC. Then the trilinear coordinates of the circular points at infinity in the plane of the reference triangle are as given below:
or, equivalently,
or, again equivalently,
where .
A real circle, defined by its center point (x0,y0) and radius r (all three of which are real numbers) may be described as the set of real solutions to the equation
Converting this into a homogeneous equation and taking the set of all complex-number solutions gives the complexification of the circle. The two circular points have their name because they lie on the complexification of every real circle. More generally, both points satisfy the homogeneous equations of the type
The case where the coefficients are all real gives the equation of a general circle (of the real projective plane). In general, an algebraic curve that passes through these two points is called circular.
The circular points at infinity are the points at infinity of the isotropic lines.
They are invariant under translations and rotations of the plane.
The concept of angle can be defined using the circular points, natural logarithm and cross-ratio:
The angle between two lines is a certain multiple of the logarithm of the cross-ratio of the pencil formed by the two lines and the lines joining their intersection to the circular points.
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En géométrie euclidienne, une conique est une courbe plane algébrique, définie initialement comme l’intersection d'un cône de révolution (supposé prolongé à l’infini de part et d’autre du sommet) avec un plan. Lorsque le plan de coupe ne passe pas par le sommet du cône, la conique est dite non dégénérée et réalise l’une des trois formes de courbe suivantes : ellipse, parabole ou hyperbole (le cercle étant un cas particulier de l'ellipse, parfois appelé quatrième forme). Ces courbes sont caractérisées par un paramètre réel appelé excentricité.
En mathématiques, la géométrie projective est le domaine de la géométrie qui modélise les notions intuitives de perspective et d'horizon. Elle étudie les propriétés inchangées des figures par projection centrale. Le mathématicien et architecte Girard Desargues fonde la géométrie projective dans son Brouillon project d’une Atteinte aux evenemens des rencontres du cone avec un plan publié en 1639, où il l'utilise pour une théorie unifiée des coniques.
En géométrie projective, les points cycliques sont deux points imaginaires communs à tous les cercles du plan (d'où leur nom). Ce sont des points imaginaires de la droite de l'infini. Ces points ont été introduits au par Jean-Victor Poncelet dans ses travaux sur la géométrie projective. Ils ont été baptisés aussi ombilics du plan par Edmond Laguerre. Les coordonnées homogènes des points cycliques dans le plan projectif complexe sont I(1,i,0) et J(1,-i,0).