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Concept
Masse réduite
Résumé
En physique, la masse réduite est la masse attribuée à l'objet fictif mis en œuvre dans la simplification des problèmes d'interaction de deux corps de la mécanique newtonienne.
On note habituellement la masse réduite par la lettre grecque μ et ses unités SI sont les mêmes que celles de la masse : les kilogrammes (kg).
Soit deux particules en interaction mutuelle, l'une de masse et l'autre de masse , le mouvement de ces deux masses peut être réduit au mouvement d'une seule particule de masse (réduite) :
La force appliquée sur cette masse est la résultante des forces entre les masses initiales. Le problème est alors résolu mathématiquement en remplaçant les masses comme suit:
et
La définition de masse réduite peut être généralisée au Problème à N corps:
Lorsque la masse est très supérieure à la masse la masse réduite est approximativement égale à la plus faible des masses :
Les équations de la mécanique sont dérivées comme suit.
La deuxième loi de Newton permet d'exprimer la force exercée par la particule 2 sur la particule 1 comme
La force exercée par la particule 1 sur la particule 2 est
La troisième loi de Newton prévoit que le force exercée par la particule 2 sur la particule 1 est égale et opposée à la force exercée par la particule 1 sur la particule 2
Ainsi,
et
L'accélération relative arel entre les deux corps est donnée par
Ceci permet de conclure que la particule 1 se déplace par rapport à la position de la particule 2 comme s'il s'agissait d'un corps de masse équivalente à la masse réduite.
Le problème à deux corps est décrit en mécanique lagrangienne par le lagrangien suivant
où ri est le vecteur de position de la particule (de masse mi) et V est une fonction d'énergie potentielle, qui ne dépend que de la distance entre les particules (condition nécessaire pour conserver l'invariance translationnelle du système). On définit
et on positionne l'origine du système de coordonnées utilisé afin qu'il coïncide avec le centre de masse, ainsi
De cette manière,
En substituant ceci dans le lagrangien on obtient
un nouveau lagrangien pour une particule de masse réduite :
Nous avons donc réduit le problème initial à deux corps à un problème simplifié à un corps.
Source officielle
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