Système de réaction-diffusion

Un système de réaction-diffusion est un modèle mathématique qui décrit l'évolution des concentrations d'une ou plusieurs substances spatialement distribuées et soumises à deux processus : un processus de réactions chimiques locales, dans lequel les différentes substances se transforment, et un processus de diffusion qui provoque une répartition de ces substances dans l'espace. Cette description implique naturellement que de tels systèmes sont appliqués en chimie. Cependant, ils peuvent aussi décrire des phénomènes dynamiques de nature différente : la biologie, la physique, la géologie ou l'écologie sont des exemples de domaines où de tels systèmes apparaissent. Mathématiquement, les systèmes de réaction-diffusion sont représentés par des équations différentielles partielles paraboliques semi-linéaires qui prennent la forme générale de où chaque composante du vecteur représente la concentration d'une substance, est une matrice diagonale de coefficients de diffusion, désigne le Laplacien et représente toutes les réactions locales. Les solutions d'une équation de réaction-diffusion peuvent présenter des comportements très divers parmi lesquels la formation d'ondes progressives et de phénomènes ondulatoires ou encore de motifs entropiques (bandes, hexagones et d'autres motifs plus complexes tels que les solitons dissipatifs). L'équation de réaction-diffusion la plus simple, ne portant que sur la concentration d'une seule substance dans une seule dimension de l'espace, est aussi appelée « équation KPP » (pour Kolmogorov-Petrovsky-Piskounov). Si le terme en (qui représente le facteur de réaction chimique dans le processus) vient à s'annuler, l'équation modélise une simple diffusion. L'équation correspondante est alors l'équation de la chaleur. Si , on obtient l'équation de Fisher qui était utilisée, à l'origine, pour décrire la propagation de populations d'individus biologiques. L'équation de Newell-Whitehead-Segel est obtenue avec et décrit le phénomène de convection de Rayleigh-Bénard et, avec et , on obtient l'équation de Zeldovich, plus générale, qui est employée notamment dans la théorie de la combustion.