Arbelos | EPFL Graph Search

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L'arbelos (ou tricercle de Mohr, du nom du mathématicien danois Georg Mohr) est une figure géométrique plane étudiée, entre autres, par Archimède (-287 - -212, Syracuse). Le terme « arbelos » signifie couteau du savetier. Soit un demi-cercle de diamètre BC. Soit A un point quelconque de ce diamètre. Tracer le demi-cercle de diamètre BA intérieur. Tracer le demi-cercle de diamètre AC intérieur. Considérer la surface intérieure obtenue : c'est une lame d'arbelos. Cette figure possède de nombreuses propriétés, en voici quelques-unes : Propriété de l'aire : soit AH la demi-corde verticale passant par A. L'aire de l'arbelos est égale à l'aire du cercle de diamètre AH. Démonstration : il suffit d'appeler b et c les diamètres AB et AC, et h la hauteur AH. Les aires des demi-cercles sont alors respectivement de , , . Puis, par différence, on obtient l'aire de l'arbelos . La dernière étape fait appel aux propriétés du triangle rectangle dans lequel le carré de la hauteur est égal au produit des longueurs découpées sur l'hypoténuse. En d'autres termes : . Ce qui nous donne pour l'aire de l'arbelos : qui est bien l'aire du cercle de diamètre AH. Propriété du rectangle : Le segment BH coupe le demi-cercle BA en D. Le segment CH coupe le demi-cercle AC en E. Alors DHEA est un rectangle. Démonstration : Les triangles BDA, BHC et AEC sont rectangles car inscrits dans des demi-cercles (théorème de Thalès (cercle)). Le quadrilatère ADHE possède donc trois angles droits, c'est un rectangle. Propriété des tangentes : La droite (DE) est une tangente commune aux deux cercles. Démonstration : La similitude de centre D qui envoie B sur A a pour angle et envoie aussi A sur H (les triangles DBA et DAH sont semblables). Elle envoie donc le milieu I de [AB] sur le milieu O de [AH] et l'angle IDO est droit. La droite (DO) est donc tangente au premier cercle en D. Comme ADHE est un rectangle, le point O est sur (DE) donc (DE) est une tangente du premier cercle. Elle est tangente du second par un raisonnement analogue.

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Concepts associés (6)

Cercles d'Archimède

En géométrie, les cercles d’Archimède sont deux cercles de même aire construits à l’intérieur d’un arbelos. Ils apparaissent dans le Livre des lemmes, attribué à l’époque médiévale au mathématicien grec Archimède, d’où leur nom. thumb|upright=1.5|Cercles jumeaux d'Archimède avec le plus petit cercle les contenant On considère un arbelos formé par un demi-cercle de diamètre [AB] ,et deux demi-cercles de diamètres [AM] et [MB] (M étant un point du segment [AB]). Le segment [MC] est la demi-corde perpendiculaire à (AB) passant par M.

Archimedean circle

In geometry, an Archimedean circle is any circle constructed from an arbelos that has the same radius as each of Archimedes' twin circles. If the arbelos is normed such that the diameter of its outer (largest) half circle has a length of 1 and r denotes the radiius of any of the inner half circles, then the radius ρ of such an Archimedean circle is given by There are over fifty different known ways to construct Archimedean circles. An Archimedean circle was first constructed by Archimedes in his Book of Lemmas.

Arbelos