Arbelos

L'arbelos (ou tricercle de Mohr, du nom du mathématicien danois Georg Mohr) est une figure géométrique plane étudiée, entre autres, par Archimède (-287 - -212, Syracuse). Le terme « arbelos » signifie couteau du savetier. Soit un demi-cercle de diamètre BC. Soit A un point quelconque de ce diamètre. Tracer le demi-cercle de diamètre BA intérieur. Tracer le demi-cercle de diamètre AC intérieur. Considérer la surface intérieure obtenue : c'est une lame d'arbelos. Cette figure possède de nombreuses propriétés, en voici quelques-unes : Propriété de l'aire : soit AH la demi-corde verticale passant par A. L'aire de l'arbelos est égale à l'aire du cercle de diamètre AH. Démonstration : il suffit d'appeler b et c les diamètres AB et AC, et h la hauteur AH. Les aires des demi-cercles sont alors respectivement de , , . Puis, par différence, on obtient l'aire de l'arbelos . La dernière étape fait appel aux propriétés du triangle rectangle dans lequel le carré de la hauteur est égal au produit des longueurs découpées sur l'hypoténuse. En d'autres termes : . Ce qui nous donne pour l'aire de l'arbelos : qui est bien l'aire du cercle de diamètre AH. Propriété du rectangle : Le segment BH coupe le demi-cercle BA en D. Le segment CH coupe le demi-cercle AC en E. Alors DHEA est un rectangle. Démonstration : Les triangles BDA, BHC et AEC sont rectangles car inscrits dans des demi-cercles (théorème de Thalès (cercle)). Le quadrilatère ADHE possède donc trois angles droits, c'est un rectangle. Propriété des tangentes : La droite (DE) est une tangente commune aux deux cercles. Démonstration : La similitude de centre D qui envoie B sur A a pour angle et envoie aussi A sur H (les triangles DBA et DAH sont semblables). Elle envoie donc le milieu I de [AB] sur le milieu O de [AH] et l'angle IDO est droit. La droite (DO) est donc tangente au premier cercle en D. Comme ADHE est un rectangle, le point O est sur (DE) donc (DE) est une tangente du premier cercle. Elle est tangente du second par un raisonnement analogue.