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Concept
Lemme de Schreier
Résumé
En mathématiques, le lemme de Schreier est un résultat de théorie des groupes permettant, à partir d'une partie génératrice d'un groupe et d'une transversale d'un sous-groupe, de construire une partie génératrice de ce sous-groupe.
Soient :
un groupe ;
une partie génératrice de ;
un sous-groupe de ;
une transversale à droite de dans , contenant l'élément neutre.
Pour tout élément g de , on note l'élément de qui a même classe à droite :
Alors, est engendré par le sous-ensemble
Si est d'indice 2 dans , alors contient au moins un , et on peut prendre comme transversale . On peut de plus se ramener au cas où est le seul élément de qui n'appartient pas à (en remplaçant les autres par leur produit par ). On calcule alors
est donc engendré par joint aux éléments de et à leurs conjugués par .
On en déduit immédiatement que si est un groupe de type fini et un sous-groupe d'indice fini alors est de type fini.
Ce lemme est également une première étape dans la preuve par Schreier du théorème de Nielsen-Schreier, selon lequel tout sous-groupe d'un groupe libre est libre.
p.
Source officielle
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