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Concept
Conchoïde
Résumé
Une conchoïde (du latin concha, coquille) est une courbe obtenue à partir d'un point fixe O, d'une autre courbe, et d'une distance d. O est alors le pôle de la conchoïde et d son module. Pour chaque droite passant par O qui coupe la courbe donnée en un point P, on trace les points N et Q de la droite situés à une distance d de P. La conchoïde est le lieu géométrique des points N et Q lorsque P parcourt la courbe donnée.
En coordonnées polaires de pôle O, si la courbe donnée a pour équation polaire alors la conchoïde aura pour équation .
La conchoïde la plus simple est la conchoïde de droite, inventée par Nicomède, mathématicien grec du . Il fut le premier à réaliser une construction mécanique d'une courbe plane (autre que le cercle).
C'est la courbe d'équation polaire , où a est la distance du pôle à la directrice (a = OH).
Les conchoïdes de Nicomède sont des trisectrices, c'est-à-dire qu'elles permettent de diviser en trois angles égaux un angle. À chaque angle φ à trisecter, correspond une conchoïde différente.
Afin de réaliser une trisection, construire un triangle OHI rectangle en H, tel que l'angle φ à trisecter soit . Ensuite, construire la conchoïde de la droite (IH) de pôle O et de module OI.
On a alors, avec : a = OH et . La conchoïde a donc pour équation .
L'intersection de la courbe avec le cercle de centre I passant par o permet de déterminer deux points M et N, et grâce aux propriétés fondamentales de la conchoïde, on démontre que l'angle trisecte l'angle ou encore que l'angle est le tiers de l'angle .
Les conchoïdes de Nicomède sont également des duplicatrices.
Dans son livre La Géométrie, René Descartes explique une méthode permettant de tracer la normale, et donc par extension la tangente à la conchoïde de Nicomède.
La voici exposée brièvement :
On veut tracer la normale d'une conchoïde de Nicomède de pôle A et de module b en un point C. La droite directrice de cette conchoïde sera appelée (BH), où B est de telle sorte que (AB) et (CH) soient perpendiculaires à (BH).
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