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Concept
Formule de Sahlqvist
Résumé
En logique modale, les formules de Sahlqvist (du nom du mathématicien norvégien Henrik Sahlqvist) constituent une classe de formules modales assortie de propriétés remarquables. Le théorème de correspondance de Sahlqvist affirme que toute formule de Sahlqvist est canonique (au sens de la sémantique de Kripke) et correspond à une classe de cadres de Kripke caractérisable par une formule en logique du premier ordre décrivant une propriété de la relation d'accessibilité.
Les formules de Sahlqvist sont définies au moyen de plusieurs définitions intermédiaires. Il existe plusieurs manières de les caractériser, plus ou moins complexes. La définition présentée ici n'est pas celle proposée originellement par Sahlqvist, mais elle lui est strictement équivalente.
Note : Les définitions intermédiaires ne valent que pour la définition des formules de Sahlqvist, et ne peuvent s'appliquer sans précaution à la logique modale en général.
Une formule positive forte est un atome propositionnel précédé d'un certain nombre (possiblement zéro) de modalités universelles, c'est-à-dire une formule de la forme .
Une formule positive est une formule ne comportant pas de symbole .
Une formule négative est la négation d'une formule positive.
Une formule détachée est une formule formée à partir de formules négatives et positives fortes en utilisant uniquement et .
Une formule de Sahlqvist est une conjonction de négations de formules détachées.
Dans les exemples, on trouvera entre crochets, pour plus de lisibilité, les formules négatives et positives fortes utilisées pour former les formules détachées.
(axiome T de la logique modale) est équivalent à la formule de Sahlqvist :
(axiome 4 de la logique modale) est équivalent à la formule de Sahlqvist :
(axiome 5 de la logique modale) est équivalent à la formule de Sahlqvist :
est équivalent à la formule de Sahlqvist :
La plupart des formules rencontrées en logique modale sont des formules de Sahlqvist.
Source officielle
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