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Concept
Nombre d'argent
Résumé
vignette|Nombre d'argent dans l'octogone régulier
L'appellation nombre d'argent , ou proportion d'argent, a été proposée pour diverses généralisations du nombre d'or ; la plus courante est celle qui fait du nombre d'argent le deuxième nombre métallique.
Le nombre d'argent, noté ou est égal à () ; c'est l'unique solution positive de l'équation .
Il peut aussi être écrit comme la fraction continue purement périodique [] :
ou comme radical imbriqué infini .
De même que le nombre d'or est relié à toute suite de Fibonacci généralisée, le nombre d'argent est relié à toute suite de Pell généralisée, vérifiant ; le terme général d'une telle suite s'écrit en effet où est l'autre solution de .
Par exemple, pour la suite de Pell proprement dite définie par , le terme général s'écrit :
formule analogue à la formule de Binet pour la suite de Fibonacci.
La suite de Pell-Lucas de premiers termes vérifie .
De plus, pour toute suite vérifiant de limite infinie, le nombre d'argent est la limite des rapports successifs .
Inversement, les puissances successives du nombre d'argent vérifient .
Le nombre d'argent étant un nombre de Pisot-Vijayaraghavan, il possède une propriété rare d'approximation diophantienne : la suite des parties fractionnaires de ses puissances tend vers 0.
Un rectangle dont le rapport de la longueur à la largeur est égal au nombre d'argent est parfois appelé « rectangle d'argent », par analogie avec le rectangle d'or.
Mais cette expression est ambiguë : « rectangle d'argent » peut aussi désigner un rectangle de proportion , aussi connu sous le nom de rectangle A4, en référence au format de papier A4.
Les rectangles d'argent de l'un ou l'autre type ont la propriété qu'en leur enlevant deux carrés maximaux, on on obtient un rectangle semblable. En effet, en retirant le plus grand carré possible d'un rectangle d'argent d'un des deux types, on obtient un rectangle d'argent de l'autre type, si bien qu'en recommençant, on retrouve un rectangle d'argent du même type que l'original, mais réduit d'un facteur 1 + .
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