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Concept
Théorème d'inversion de Lagrange
Résumé
En mathématiques, le théorème d'inversion de Lagrange fournit le développement en série de certaines fonctions définies implicitement ; la formule d'inversion de Lagrange, connue aussi sous le nom de formule de Lagrange-Bürmann, en est un cas particulier donnant le développement en série de Taylor de la bijection réciproque d'une fonction analytique.
Si z est une fonction de x, de y et d'une fonction f indéfiniment dérivable, telle que
alors pour toute fonction g indéfiniment dérivable, on a
pour y petit, si la série converge (voir plus loin pour la version formelle de cette identité).
Si g est la fonction identité on obtient alors
Si on prend x = 0 et f(z) = où h est une fonction analytique telle que h(0) = 0 et h(0) ≠ 0, on obtient la relation y = h(z) et la formule d'inversion de Lagrange permet d'obtenir la série de Taylor de la fonction h, à savoir :
les dérivées étant calculées en x = 0.
Plus précisément, soit f une fonction (de variable complexe) analytique au point a telle que f '(a) ≠ 0. On peut alors résoudre l'équation en w, f(w) = z pour z appartenant à un voisinage de f(a), obtenant w = g(z), où
g est analytique au point b = f(a). On dit que g est obtenu par inversion de série.
Le développement en série de g est donné par
Cette formule est en fait valable pour des séries formelles, et peut se généraliser de diverses façons : pour des fonctions de plusieurs variables, pour le cas où f '(a) = 0 (l'inverse g étant alors une fonction multivaluée), et pour des extensions à des algèbres d'opérateurs, comme pour l'exponentielle ou le logarithme de matrices.
Ce théorème fut démontré par Lagrange et généralisé par à la fin du . On peut l'obtenir à l'aide de la théorie (plus tardive) de l'intégrale de contour, mais c'est en réalité un résultat purement formel, dont on peut donner une preuve directe.
Un cas particulier du théorème, utilisé en combinatoire analytique, correspond à f(w) = w/φ(w) et φ(0) ≠ 0. Prenant a = 0 et b = f(0) = 0, on obtient
ce qui peut aussi s'écrire
où [w] désigne le coefficient de w dans l'expression qui le suit.
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