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Concept
Coniques circonscrites et inscrites à un triangle
Résumé
En géométrie du triangle, une conique circonscrite est une conique passant par les trois sommets du triangle et une conique inscrite est une conique tangente aux côtés, éventuellement étendus.
On note a = BC, b = CA, c = AB les longueurs des côtés d'un triangle ABC.
En coordonnées trilinéaires relativement au triangle ABC, une conique circonscrite à ce triangle est l'ensemble des points M de coordonnées vérifiant l'équation générale :
pour un point de coordonnées trilinéaires . Le conjugué isogonal d'un point M de la conique circonscrite, distinct de A, B, C, appartient à la droite d'équation trilinéaire :
Cette droite rencontre la conique circonscrite au triangle ABC en 0, 1 ou 2 points selon la nature de la conique (ellipse, parabole ou hyperbole).
Une conique inscrite (ou tritangente), donc tangente aux trois côtés du triangle, a pour équation trilinéaire générale :
Le centre de la conique circonscrite ci-dessus a pour coordonnées trilinéaires :
Le centre de la conique inscrite ci-dessus a pour coordonnées trilinéaires :
L'ellipse circonscrite de Steiner d'un triangle est l'ellipse passant par les trois sommets du triangle et de centre le centre de gravité du triangle. Elle correspond à l'ellipse inscrite de Steiner du triangle anticomplémentaire.
Pour un triangle donné, elle est l'ellipse circonscrite d'aire minimale, et son aire est proportionnelle à celle du triangle :
Le théorème de Brianchon-Poncelet établit qu'une hyperbole circonscrite à un triangle est équilatère si et seulement si elle passe également par l'orthocentre du triangle, et dans ce cas, son centre est sur le cercle d'Euler; on parle parfois de faisceau de Poncelet en parlant de l'ensemble des hyperboles circonscrites au triangle passant par l'orthocentre.
Hyperbole de Kiepert
L'hyperbole de Kiepert d'un triangle est la courbe contenant tous les points de Lemoine du triangle. Elle passe par son centre de gravité.
L'hyperbole de Feuerbach d'un triangle est l'hyperbole passant par les trois sommets du triangle et dont le centre de symétrie est le point de Feuerbach du triangle.
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