Concept

Formule d'Euler-Maclaurin

Résumé
vignette|Portrait de Colin Maclaurin En mathématiques, la 'formule d'Euler-Maclaurin' (appelée parfois formule sommatoire d'Euler) est une relation entre sommes discrètes et intégrales. Elle fut découverte indépendamment, aux alentours de 1735, par le mathématicien suisse Leonhard Euler (pour accélérer le calcul de limites de séries lentement convergentes) et par l'Écossais Colin Maclaurin (pour calculer des valeurs approchées d'intégrales). Introduction : comparaison entre série et intégrale Soit f une fonction infiniment dérivable sur [1, +∞[ et n un entier naturel non nul. On veut obtenir un développement asymptotique de la somme \sum_{i=1}^n f(i)=f(1)+f(2)+\cdots+f(n) en la comparant à l'intégrale \int_1^n f(x)~{\rm d}x. La formule d'Euler-Maclaurin donne une expression de la différence f(1)+f(2)+\cdots+f(n)-\int_1^n f(x)~{\rm d}x en fonction des valeurs de la fonction et de ses dérivées aux extrémités 1 et n et d
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