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Concept
Formule d'Euler-Maclaurin
Résumé
vignette|Portrait de Colin Maclaurin
En mathématiques, la 'formule d'Euler-Maclaurin' (appelée parfois formule sommatoire d'Euler) est une relation entre sommes discrètes et intégrales. Elle fut découverte indépendamment, aux alentours de 1735, par le mathématicien suisse Leonhard Euler (pour accélérer le calcul de limites de séries lentement convergentes) et par l'Écossais Colin Maclaurin (pour calculer des valeurs approchées d'intégrales).
Soit f une fonction infiniment dérivable sur [1, +∞[ et n un entier naturel non nul.
On veut obtenir un développement asymptotique de la somme en la comparant à l'intégrale .
La formule d'Euler-Maclaurin donne une expression de la différence en fonction des valeurs de la fonction et de ses dérivées aux extrémités 1 et n et d'un reste :
Les nombres qui apparaissent dans la formule sont les nombres de Bernoulli.
La série obtenue n'est en général pas convergente mais on connaît plusieurs expressions du reste R de la formule qui permettent de majorer l'erreur ainsi faite.
Soient p et q deux entiers relatifs (p < q), f une fonction continue complexe définie sur [p, q].
L'énoncé qui suit exprime la somme avec l'intégrale , les valeurs de f (ainsi que de ses dérivées) aux extrémités f(p) et f(q) et d'un reste.
Si f est une fonction complexe continûment dérivable une fois sur le segment [p, q], la formule d'Euler-Maclaurin s'énonce ainsi :
avec
où est la partie entière de x, notée aussi E(x), et est la partie fractionnaire de x.
Pour une fonction f continûment dérivable 2k fois sur le segment [p, q] (avec k ≥ 1), la formule d'Euler-Maclaurin s'énonce ainsi :
Les nombres b2j désignent les nombres de Bernoulli et le reste Rk s'exprime à l'aide du polynôme de Bernoulli B2k :
La notation B2k désigne le 2k-ième polynôme de Bernoulli et en est une version périodisée, de période 1, égale à B2k(x) si 0 < x < 1.
Les nombres de Bernoulli vérifient les égalités .
D'autres expressions du reste sont données plus loin si la fonction f est 2k + 1 fois dérivable ou 2k + 2 fois dérivable.
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