Formule sommatoire d'Abel

En mathématiques, la formule sommatoire d'Abel, nommée d'après son auteur Niels Henrik Abel, est une formule utilisée intensivement en théorie analytique des nombres. Elle sert à calculer des séries numériques. Soient une suite de nombres réels ou complexes et une fonction réelle ou complexe de classe C. On pose Alors, pour tout réel x, Il s'agit d'une intégration par parties dans une intégrale de Stieltjes, mais ce cas particulier peut se démontrer directement. La fonction A est nulle sur ]–∞, 1[ donc si x < 1, l'équation se résume à 0 = 0. Supposons désormais x ≥ 1 et notons N ≥ 1 sa partie entière (donc A(x) = A(N)). La formule de sommation par parties donne : En utilisant astucieusement la formule, on peut calculer des sommes et retrouver des résultats usuels. Par exemple, pour et , en prenant x = N entier, on trouve (pour tout réel x ≥ 1, ou même x > 0) : On reconnait ici la formule des nombres triangulaires. Pour et , en notant la partie entière de x, on trouve (pour tout réel x ≥ 1, ou même x > 0) : dont on déduit une expression intégrale de la constante d'Euler-Mascheroni : Pour toute série de Dirichlet classique la formule sommatoire d'Abel, appliquée à , montre que pour tout nombre complexe s de partie réelle strictement supérieure à 0 et à l'abscisse de convergence de la série : Ci-dessous, deux exemples. On en trouvera un autre dans l'article « Fonction de von Mangoldt ». Pour on obtient : Cette formule est valable pour Re(s) > 1. On en déduit notamment le théorème de Dirichlet selon lequel la fonction zêta de Riemann ζ(s) admet un pôle simple de résidu 1 en s = 1. Pour (la fonction de Möbius) : Cette formule est valable pour Re(s) > 1.