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Concept
Double classe
Résumé
En théorie des groupes, un domaine des mathématiques, une double classe est une partie d'un groupe de la forme
où et sont deux sous-groupes d'un groupe et est un élément de . On dit alors plus précisément que est la double classe de selon ou sa -double classe.
Lorsque , elle est appelée la -double classe de . De façon équivalente, est la classe d'équivalence de pour la relation d'équivalence
s'il existe dans et dans tel que .
L'ensemble de toutes les doubles classes est noté .
Soit un groupe et soient et des sous-groupes de . On les fait agir respectivement par multiplication à gauche et à droite sur . Comme les actions commutent, cela donne lieu à une action du produit : l'action est définie pour dans et dans par . Alors les -doubles classes de sont exactement les orbites de cette action. De nombreuses propriétés de base des doubles classes découlent immédiatement de ce fait. Cependant, comme est un groupe et que et sont des sous-groupes agissant par multiplication, les doubles classes ont plus de structures et de propriétés que les orbites d'actions de groupe générales.
Deux doubles classes et sont soit disjointes, soit identiques.
est la réunion disjointe de ses doubles classes.
Il existe une bijection entre les deux ensembles de doubles classes et , l'application qui à associe pour dans .
Si , alors . Si , alors .
Une double classe est une réunion de classes à droite suivant et de classes à gauche suivant ; plus précisément,
L'ensemble des -doubles classes est en bijection avec l'ensemble des orbites de dans le quotient , et aussi avec l'ensemble des orbites de dans le quotient ; les bijections son respectivementt les applications et .
Si est distingué, alors est un groupe, ainsi que , et l'action à droite de sur ce groupe se factorise par l'action à droite de . Il en résulte que . De même, si est distingué, alors .
Si est un sous-groupe dinstingué de , alors les -doubles classes sont en bijection avec les classes à gauche (et à droite) suivant .
On considère comme la réunion d'une -orbite de classes à droite suivant .
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