Méthode de Frobenius

En analyse, la méthode de Frobenius, du nom du mathématicien allemand Ferdinand Georg Frobenius, est une technique d'obtention du développement en série entière des solutions d'une équation différentielle linéaire de la forme : la variable z étant en général complexe, au voisinage du point z = a, sous réserve que p(z) et q(z) soient analytiques, ou possèdent un point singulier dit régulier en ce point. Si ces conditions sont respectées, la méthode de Frobenius permet alors de déterminer au moins une solution de la forme : Cette méthode se généralise à une équation différentielle linéaire d'ordre p quelconque, sous réserve des conditions de régularité suffisantes sur les fonctions apparaissant devant chacune des dérivées . Il est fréquent qu'il ne soit pas possible d'intégrer directement les équations différentielles, même linéaires, et d'en exprimer les solutions à partir de polynômes ou de fonctions transcendantales "ordinaires" (par exemple exponentielle, logarithme, fonctions trigonométriques...). Par ailleurs, même si une solution analytique peut être obtenue, celle-ci peut avoir une forme très complexe, et peu utilisable en pratique. Pour toutes ces raisons, il est utile de disposer de méthodes permettant d'obtenir des formes approchées des solutions d'une équation différentielle. Ces méthodes peuvent être classées en deux grandes catégories : des méthodes locales, où l'on cherche à exprimer la solution approchée au voisinage d'un point particulier ; des méthodes globales, où l'on cherche à exprimer cette solution approchée sur un certain intervalle : il s'agit essentiellement des méthodes de perturbation, où l'on simplifie l'équation initiale en négligeant certains termes, ce qui rend l'équation facilement intégrable, avant de tenir compte des termes négligés en utilisant la solution « d'ordre 0 » ainsi obtenue. Ce type de méthode est fréquemment utilisée en astronomie ou en physique quantique. La méthode de Frobenius appartient à la première catégorie de méthodes.