Grandes déviations: théorie et applications

Cette séance de cours explore le concept de grandes déviations en mécanique statistique, en le reliant aux moyens empiriques de variables aléatoires et à la fonction génératrice du moment. En commençant par les bases des variables aléatoires, l'instructeur approfondit le théorème de Kramer, qui sert de base à la théorie des grandes déviations. La discussion s'étend aux tableaux cardinaux et au lemme de Varadhan, montrant comment estimer les probabilités et les attentes des fonctions exponentielles en utilisant la fonction de taux. La séance de cours aborde également la méthode de Laplace et son application dans l'estimation des attentes. À la fin, le public a un aperçu de la version rigoureuse de la méthode de Laplace et de son applicabilité plus large au-delà des fonctions exponentielles, fournissant une compréhension globale de la théorie des grandes déviations.

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Concepts associés (30)

PHYS-642: Statistical physics for optimization & learning

This course covers the statistical physics approach to computer science problems, with an emphasis on heuristic & rigorous mathematical technics, ranging from graph theory and constraint satisfaction

Variable aléatoire

vignette|La valeur d’un dé après un lancer est une variable aléatoire comprise entre 1 et 6. En théorie des probabilités, une variable aléatoire est une variable dont la valeur est déterminée après la réalisation d’un phénomène, expérience ou événement, aléatoire. En voici des exemples : la valeur d’un dé entre 1 et 6 ; le côté de la pièce dans un pile ou face ; le nombre de voitures en attente dans la 2e file d’un télépéage autoroutier ; le jour de semaine de naissance de la prochaine personne que vous rencontrez ; le temps d’attente dans la queue du cinéma ; le poids de la part de tomme que le fromager vous coupe quand vous lui en demandez un quart ; etc.

Fonction génératrice des moments

En théorie des probabilités et en statistique, la fonction génératrice des moments d'une variable aléatoire est la fonction M définie par pour tout réel t tel que cette espérance existe. Cette fonction, comme son nom l'indique, est utilisée afin d'engendrer les moments associés à la distribution de probabilités de la variable aléatoire .

Complex random variable

In probability theory and statistics, complex random variables are a generalization of real-valued random variables to complex numbers, i.e. the possible values a complex random variable may take are complex numbers. Complex random variables can always be considered as pairs of real random variables: their real and imaginary parts. Therefore, the distribution of one complex random variable may be interpreted as the joint distribution of two real random variables.

Exchangeable random variables

In statistics, an exchangeable sequence of random variables (also sometimes interchangeable) is a sequence X1, X2, X3, ... (which may be finitely or infinitely long) whose joint probability distribution does not change when the positions in the sequence in which finitely many of them appear are altered. Thus, for example the sequences both have the same joint probability distribution. It is closely related to the use of independent and identically distributed random variables in statistical models.

Convergence de variables aléatoires

Dans la théorie des probabilités, il existe différentes notions de convergence de variables aléatoires. La convergence (dans un des sens décrits ci-dessous) de suites de variables aléatoires est un concept important de la théorie des probabilités utilisé notamment en statistique et dans l'étude des processus stochastiques. Par exemple, la moyenne de n variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées converge presque sûrement vers l'espérance commune de ces variables aléatoires (si celle-ci existe).