Pascal's ruleIn mathematics, Pascal's rule (or Pascal's formula) is a combinatorial identity about binomial coefficients. It states that for positive natural numbers n and k, where is a binomial coefficient; one interpretation of the coefficient of the xk term in the expansion of (1 + x)n. There is no restriction on the relative sizes of n and k, since, if n < k the value of the binomial coefficient is zero and the identity remains valid. Pascal's rule can also be viewed as a statement that the formula solves the linear two-dimensional difference equation over the natural numbers.
Coefficient binomialEn mathématiques, les coefficients binomiaux, ou coefficients du binôme, définis pour tout entier naturel n et tout entier naturel k inférieur ou égal à n, donnent le nombre de parties à k éléments d'un ensemble à n éléments. On les note - qui se lit « k parmi n » - ou , la lettre C étant l'initiale du mot « combinaison » Les coefficients binomiaux s'expriment à l'aide de la fonction factorielle : Ils interviennent dans de nombreux domaines des mathématiques : développement du binôme en algèbre, dénombrements, développement en série, lois de probabilités, etc.
Formule du binôme de Newtonvignette|Visualisation de l'expansion binomiale La formule du binôme de Newton est une formule mathématique donnée par Isaac Newton pour trouver le développement d'une puissance entière quelconque d'un binôme. Elle est aussi appelée formule du binôme ou formule de Newton. Si x et y sont deux éléments d'un anneau (par exemple deux nombres réels ou complexes, deux polynômes, deux matrices carrées de même taille, etc.
Développement (mathématiques)vignette|Développement d'un produit de fonctions polynomiales.|215x215px En mathématiques, le développement d'une expression est un procédé inverse de la factorisation, de portée toutefois plus limitée que celle-ci : alors qu'on parle de factorisation aussi bien pour les nombres entiers que pour les polynômes, par exemple, on ne parle pas de développement des nombres entiers ; cette notion nécessite en effet de travailler dans une algèbre. À l'issue d'un développement, on obtient une forme dite forme développée.
Identité de VandermondeEn mathématiques combinatoires, l'identité de Vandermonde, ainsi nommée en l'honneur d'Alexandre-Théophile Vandermonde (1772), ou formule de convolution, affirme que, pour des entiers naturels , on a où les nombres , avec , sont des coefficients binomiaux, c'est-à-dire que si (le point d'exclamation « ! » désignant la factorielle) et si . Les contributions non nulles à la somme de droite proviennent des valeurs de j pour lesquelles les coefficients binomiaux sont non nuls, c'est-à-dire pour .
