Singularité essentielle et calcul des résidus

Cette séance de cours traite du concept de singularités essentielles dans l'analyse complexe, en se concentrant sur le calcul des résidus. L'instructeur explique la signification de l'intégrale sur une courbe autour des singularités essentielles et clarifie pourquoi l'attention est dirigée vers des coefficients spécifiques. À travers des exemples, la séance de cours illustre des scénarios où la fonction est holomorphe à l'exception d'un coefficient spécifique étant zéro. La discussion couvre également la distinction entre les pôles et les singularités essentielles, en soulignant les conditions dans lesquelles les intégrales sont valides. Divers scénarios sont explorés pour comprendre le comportement des fonctions proches des singularités essentielles et les implications pour le calcul des résidus.

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Séances de cours associées (48)

Concepts associés (33)

MATH-207(d): Analysis IV

Le cours étudie les concepts fondamentaux de l'analyse complexe et de l'analyse de Laplace en vue de leur utilisation pour résoudre des problèmes pluridisciplinaires d'ingénierie scientifique.

Fonction holomorphe

vignette|Une grille et son image par f d'une fonction holomorphe. En analyse complexe, une fonction holomorphe est une fonction à valeurs complexes, définie et dérivable en tout point d'un sous-ensemble ouvert du plan complexe C. Cette condition est beaucoup plus forte que la dérivabilité réelle. Elle entraîne (via la théorie de Cauchy) que la fonction est analytique : elle est infiniment dérivable et est égale, au voisinage de tout point de l'ouvert, à la somme de sa série de Taylor.

Analyse complexe

L'analyse complexe est un domaine des mathématiques traitant des fonctions à valeurs complexes (ou, plus généralement, à valeurs dans un C-espace vectoriel) et qui sont dérivables par rapport à une ou plusieurs variables complexes. Les fonctions dérivables sur un ouvert du plan complexe sont appelées holomorphes et satisfont de nombreuses propriétés plus fortes que celles vérifiées par les fonctions dérivables en analyse réelle. Entre autres, toute fonction holomorphe est analytique et vérifie le principe du maximum.

Analyticity of holomorphic functions

In complex analysis, a complex-valued function of a complex variable : is said to be holomorphic at a point if it is differentiable at every point within some open disk centered at , and is said to be analytic at if in some open disk centered at it can be expanded as a convergent power series (this implies that the radius of convergence is positive). One of the most important theorems of complex analysis is that holomorphic functions are analytic and vice versa.

Résidu (analyse complexe)

En analyse complexe, le résidu est un nombre complexe qui décrit le comportement de l'intégrale curviligne d'une fonction holomorphe aux alentours d'une singularité. Les résidus se calculent assez facilement et, une fois connus, permettent de calculer des intégrales curvilignes plus compliquées grâce au théorème des résidus. Le terme résidu vient de Cauchy dans ses Exercices de mathématiques publié en 1826. Soit un ouvert de , un ensemble dans D de points isolés et une fonction holomorphe.

Théorème de Liouville (variable complexe)

En analyse complexe, le théorème de Liouville est un résultat portant sur les fonctions entières (les fonctions holomorphes sur tout le plan complexe). Alors qu'il existe un grand nombre de fonctions infiniment dérivables et bornées sur la droite réelle, le théorème de Liouville affirme que toute fonction entière bornée est constante. Ce théorème est dû à Cauchy. Ce détournement est l'œuvre d'un élève de Liouville qui prit connaissance de ce théorème aux cours lus par ce dernier.

Formes harmoniques et surfaces de Riemann MATH-680: Monstrous moonshine

Explore les formes harmoniques sur les surfaces de Riemann, couvrant l'unicité des solutions et l'identité bilinéaire de Riemann.

Théorème des résidus : Calcul d'intégrales sur des courbes fermées MATH-207(d): Analysis IV

Couvre l'application du théorème des résidus dans le calcul des intégrales sur des courbes fermées dans l'analyse complexe.

Intégrales de courbes non fermées MATH-207(d): Analysis IV

Couvre le calcul des intégrales sur des courbes non fermées, en se concentrant sur les singularités essentielles et le calcul des résidus.

Analyse complexe : Série Laurent MATH-201: Analysis III

Explore la série Laurent en analyse complexe, mettant l'accent sur les singularités, les résidus et le théorème de Cauchy.

Analyse complexe: formule intégrale de cauchy MATH-201: Analysis III

Explore la formule intégrale de Cauchy dans l'analyse complexe et ses applications dans l'évaluation des intégrales complexes.