Intégration numérique : la règle de Simpson

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Description

Cette séance de cours couvre le concept d'intégration numérique, en se concentrant sur la règle de Simpson pour approximer les intégrales définies. L'instructeur explique la formule et son application, en discutant des degrés d'exactitude et des formules en quadrature composite. L'extrapolation de Richardson est également introduite comme méthode pour améliorer la précision de l'approximation.

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Séances de cours associées (48)

Concepts associés (42)

Calcul numérique d'une intégrale

En analyse numérique, il existe une vaste famille d’algorithmes dont le but principal est d’estimer la valeur numérique de l’intégrale définie sur un domaine particulier pour une fonction donnée (par exemple l’intégrale d’une fonction d’une variable sur un intervalle). Ces techniques procèdent en trois phases distinctes : Décomposition du domaine en morceaux (un intervalle en sous-intervalles contigus) ; Intégration approchée de la fonction sur chaque morceau ; Sommation des résultats numériques ainsi obtenus.

Méthode de Simpson

En analyse numérique, la méthode de Simpson, du nom de Thomas Simpson, est une technique de calcul numérique d'une intégrale, c'est-à-dire le calcul approché de : Cette méthode utilise l'approximation d'ordre 2 de f par un polynôme quadratique P prenant les mêmes valeurs que f aux points d'abscisse a, b et m = . Pour déterminer l'expression de cette parabole (polynôme de degré 2), on utilise l'interpolation lagrangienne.

Méthode des trapèzes

En analyse numérique, la méthode des trapèzes est une méthode pour le calcul numérique d'une intégrale s'appuyant sur l'interpolation linéaire par intervalles. Le principe est d'assimiler la région sous la courbe représentative d'une fonction f définie sur un segment [a , b] à un trapèze et d'en calculer l'aire T : En analyse numérique l'erreur est par convention la différence entre la valeur exacte (limite) et son approximation par un nombre fini d'opérations. ()..

Analyse numérique

L’analyse numérique est une discipline à l'interface des mathématiques et de l'informatique. Elle s’intéresse tant aux fondements qu’à la mise en pratique des méthodes permettant de résoudre, par des calculs purement numériques, des problèmes d’analyse mathématique. Plus formellement, l’analyse numérique est l’étude des algorithmes permettant de résoudre numériquement par discrétisation les problèmes de mathématiques continues (distinguées des mathématiques discrètes).

Méthodes de quadrature de Gauss

Dans le domaine mathématique de l'analyse numérique, les méthodes de quadrature sont des approximations de la valeur numérique d'une intégrale. En général, on remplace le calcul de l'intégrale par une somme pondérée prise en un certain nombre de points du domaine d'intégration (voir calcul numérique d'une intégrale pour plus d'informations). La méthode de quadrature de Gauss, du nom de Carl Friedrich Gauss, est une méthode de quadrature exacte pour un polynôme de degré 2n – 1 avec n points pris sur le domaine d'intégration.