FoncteurDans la théorie des catégories, un foncteur est une construction transformant les objets et morphismes d'une catégorie en ceux d'une autre catégorie, d'une façon compatible. On parle alors d'une construction fonctorielle ou de fonctorialité. Une telle construction est donc un morphisme entre deux catégories. Historiquement, les foncteurs furent introduits en topologie algébrique, associant aux espaces topologiques et aux applications continues des objets algébriques tels que les groupes d'homotopie et les morphismes de groupes, permettant ainsi un véritable calcul d'invariants caractérisant ces espaces.
Foncteur adjointL'adjonction est une situation omniprésente en mathématiques, et formalisée en théorie des catégories par la notion de foncteurs adjoints. Une adjonction entre deux catégories et est une paire de deux foncteurs et vérifiant que, pour tout objet X dans C et Y dans D, il existe une bijection entre les ensembles de morphismes correspondants et la famille de bijections est naturelle en X et Y. On dit que F et G sont des foncteurs adjoints et plus précisément, que F est « adjoint à gauche de G » ou que G est « adjoint à droite de F ».
Foncteur HomEn mathématiques, le foncteur Hom est un foncteur associé aux morphismes de la catégorie des ensembles. Il est central en théorie des catégories, notamment du fait de son rôle dans le lemme de Yoneda et parce qu'il permet de définir le foncteur Ext. Soit une catégorie localement petite. Pour tout couple d'objets A et B dans cette catégorie, un morphisme induit une fonction pour tout objet X.
Category (mathematics)In mathematics, a category (sometimes called an abstract category to distinguish it from a ) is a collection of "objects" that are linked by "arrows". A category has two basic properties: the ability to compose the arrows associatively and the existence of an identity arrow for each object. A simple example is the , whose objects are sets and whose arrows are functions. is a branch of mathematics that seeks to generalize all of mathematics in terms of categories, independent of what their objects and arrows represent.
Catégorie de foncteursUne catégorie de foncteurs ou catégorie des foncteurs entre deux catégories est une catégorie dont les objets sont les foncteurs entre ces catégories, et les morphismes sont les transformations naturelles entre ces foncteurs. Soient et des catégories. On définit la catégorie de foncteurs de dans , notée , ou parfois ou : Les objets de sont les foncteurs de dans ; Les morphismes sont les transformations naturelles. Il existe, pour tout objet F, un morphisme correspondant à l'identité incarné par le foncteur .
