Application linéaireEn mathématiques, une application linéaire (aussi appelée opérateur linéaire ou transformation linéaire) est une application entre deux espaces vectoriels qui respecte l'addition des vecteurs et la multiplication scalaire, et préserve ainsi plus généralement les combinaisons linéaires. L’expression peut s’utiliser aussi pour un morphisme entre deux modules sur un anneau, avec une présentation semblable en dehors des notions de base et de dimension. Cette notion étend celle de fonction linéaire en analyse réelle à des espaces vectoriels plus généraux.
Algèbre linéairevignette|R3 est un espace vectoriel de dimension 3. Droites et plans qui passent par l'origine sont des sous-espaces vectoriels. L’algèbre linéaire est la branche des mathématiques qui s'intéresse aux espaces vectoriels et aux transformations linéaires, formalisation générale des théories des systèmes d'équations linéaires. L'algèbre linéaire est initiée dans son principe par le mathématicien perse Al-Khwârizmî qui s'est inspiré des textes de mathématiques indiens et qui a complété les travaux de l'école grecque, laquelle continuera de se développer des siècles durant.
Espace vectorielvignette|Dans un espace vectoriel, on peut additionner deux vecteurs. Par exemple, la somme du vecteur v (en bleu) et w (en rouge) est v + w. On peut aussi multiplier un vecteur, comme le vecteur w que l'on peut multiplier par 2, on obtient alors 2w et la somme devient v + 2w. En mathématiques, plus précisément en algèbre linéaire, un espace vectoriel est un ensemble d'objets, appelés vecteurs, que l'on peut additionner entre eux, et que l'on peut multiplier par un scalaire (pour les étirer ou les rétrécir, les tourner, etc.
Matrices de PauliLes matrices de Pauli, développées par Wolfgang Pauli, forment, au facteur i près, une base de l'algèbre de Lie du groupe SU(2). Elles sont définies comme l'ensemble de matrices complexes de dimensions suivantes : (où i est l’unité imaginaire des nombres complexes). Ces matrices sont utilisées en mécanique quantique pour représenter le spin des particules, notamment dès 1927 dans l'étude non-relativiste du spin de l'électron : l'équation de Pauli.
Base canoniqueEn mathématiques, plus précisément en algèbre linéaire, certains espaces vectoriels possèdent une base qualifiée de canonique ; il s'agit d'une base qui se présente de manière naturelle d'après la manière dont l'espace vectoriel est présenté. C'est ainsi que l'on parle de la base canonique de R, de la base canonique de l'espace vectoriel des matrices ou de celui des polynômes. En revanche sur un espace vectoriel quelconque, la notion n'a pas de sens : il n'y a pas de choix de base privilégiée.
