Les géodésiques des métriques finslériennes et pseudo-finslériennes faibles de basse régularité

Ce travail porte sur l'étude des géodésiques des métriques finslériennes faibles de basse régularité en passant par différents points de vue sur la géométrie et en déduisant des résultats liés à ces points de vue. Nous commençons par revisiter, unifier et généraliser les résultats d'un article de Herbert Busemann et Walter Mayer de 1941 revu partiellement par Shoshichi Kobayashi, puis en tirons les conséquences et montrons que quelques uns de ces résultats peuvent s'adapter à une géométrie de type espace-temps. \Nous définissons ensuite une notion de ``géodésiques spéciales'' et une application exponentielle spéciale pour les métriques finslériennes faibles, permettant de démontrer un théorème de Hopf-Rinow adapté aux métriques finslérienne faibles de basse régularité. Les résultats de Hopf-Rinow spécial, combinés au résultats de Busemann-Mayer, permettent de construire des métriques satisfaisant un théorème de type Hopf-Rinow en partant d'un champ d'ouverts étoilés sur une variété différentiable.\La thèse se termine par la construction concrète d'une métrique finslérienne faible de faible régularité sur la sphère de dimension $2$ et en étudie le flot des géodésiques spéciales afin de comprendre des propriétés systoliques remarquables de cette métrique.