Analyse complexe : dérivés et intégraux

Cette séance de cours couvre les principes fondamentaux de l'analyse complexe, en se concentrant sur les dérivés et les intégrales complexes. Il commence par un récapitulatif des dérivés complexes, expliquant la définition limite et les conditions de différentiabilité. L'instructeur discute des implications de la différentiabilité complexe, y compris les équations de Cauchy-Riemann. La séance de cours passe ensuite à une intégration complexe, définissant des courbes régulières et des intégrales de lignes complexes. Plusieurs exemples illustrent l'intégration des fonctions sur les courbes, y compris le demi-cercle supérieur et le cercle complet autour de l'origine. Le théorème de Cauchy est introduit, détaillant les conditions d'application du théorème et sa signification dans l'analyse complexe. L'instructeur fournit des preuves et décrit les applications pratiques du théorème, en soulignant l'importance des fonctions holomorphes. La séance de cours se termine par une extension du théorème de Cauchy, discutant de ses implications dans divers contextes et renforçant les concepts à travers des exemples. Dans l'ensemble, la séance de cours fournit un aperçu complet de l'analyse complexe, en équipant les étudiants avec des outils essentiels pour une étude plus approfondie dans le domaine.