Coefficient binomial central

En mathématiques le coefficient binomial central d'ordre n est le coefficient binomial défini par : Il est ainsi nommé pour la position centrale qu'il occupe dans la liste des pour . Pour les premières valeurs de n, celles du coefficient binomial central associé sont : 1, 2, 6, 20, 70, 252. La liste de toutes les valeurs constitue la . Sauf pour le premier d'entre eux, , tout coefficient binomial central est un entier pair. Plusieurs preuves élémentaires existent. La plus simple, utilisant la « formule du pion » (), montre que ce coefficient est le double d'un entier « voisin » dans le triangle de Pascal : Avec le théorème de Wolstenholme, il résulte également de cette égalité que si p est un nombre premier supérieur ou égal à 5, alors On conjecture que constitue une condition nécessaire et suffisante pour que soit premier, car cette propriété est vraie jusqu'à , mais cette conjecture n'est pas prouvée . Le coefficient binomial central d'ordre n est divisible par n + 1, ce qui revient à dire que le nombre de Catalan est un entier. Pour le prouver, le plus simple est — de même que pour les coefficients binomiaux — d'utiliser l'une des nombreuses interprétations combinatoires de C. Il existe aussi des preuves algébriques. On peut par exemple remarquer que . Dans la décomposition en produit de facteurs premiers du coefficient binomial central d'ordre n, on note e la puissance du nombre premier p, c'est-à-dire que e est le plus grand exposant tel que p divise . Si désigne la partie entière du réel x, alors, en posant , on établit, en application de la formule de Legendre : Par exemple, si et , alors et , de sorte que 5 divise le nombre mais 5 ne le divise pas. D'après le théorème de Kummer, on a aussi : où est la somme des chiffres de n en base p, ce qui est aussi égal au nombre de retenues lorsqu'on effectue l'addition en base p. Par exemple, si tous les chiffres de n en base p sont strictement inférieurs à n'est pas multiple de p. Dans le cas où , le nombre e est donc le nombre de 1 dans l’écriture binaire de n .