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Concept
Triangle de Pascal
Résumé
thumb|Premières lignes du triangle de Pascal.
En mathématiques, le triangle de Pascal est une présentation des coefficients binomiaux dans un tableau triangulaire. Il a été nommé ainsi en l'honneur du mathématicien français Blaise Pascal. Il est connu sous l'appellation « triangle de Pascal » en Occident, bien qu'il ait été étudié par d'autres mathématiciens, parfois plusieurs siècles avant lui, en Inde, en Perse (où il est appelé « triangle de Khayyam »), au Maghreb, en Chine (où il est appelé « triangle de Yang Hui »), en Allemagne et en Italie (où il est appelé « triangle de Tartaglia »).
La construction du triangle est régie par la relation de Pascal :
pour tous entiers n et k tels que .
Le triangle de Pascal peut être généralisé à d'autres dimensions. La version tridimensionnelle est appelée pyramide de Pascal ou tétraèdre de Pascal, tandis que les versions générales sont appelées simplexes de Pascal.
La tradition attribue le nom de triangle de Pascal au triangle décrit plus haut. Cependant, ce triangle était déjà connu en Orient et au Moyen-Orient plusieurs siècles avant la publication de Blaise Pascal. Il était ainsi connu des mathématiciens persans, par exemple al-Karaji (953-1029) ou Omar Khayyam au ou des mathématiciens du Maghreb comme Ibn al-Banna et ses disciples qui l'utilisent pour développer (a + b)n. Il apparaît en Chine dès 1261 dans un ouvrage de Yang Hui (au rang 6) et dans le Miroir de jade des quatre éléments de Zhu Shijie en 1303 (au rang 8). Yang Hui attribue la paternité du triangle au mathématicien chinois du Jia Xian. Ce triangle permettait de présenter les coefficients des différents termes dans la formule du binôme et, selon Victor J. Katz, il était utilisé pour généraliser à des degrés supérieurs à 2 la méthode d'extraction de racine.
En Europe, il apparaît dans l'ouvrage de Peter Apian, Rechnung (1527). Il est étudié par Michael Stifel (1486-1567), Tartaglia (1499-1557) et François Viète (1540-1603). C'est d'ailleurs sous le nom de « triangle de Tartaglia » qu'il est connu en Italie.
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