Matrice stochastique

En mathématiques, une matrice stochastique (aussi appelée matrice de Markov) est une matrice carrée (finie ou infinie) dont chaque élément est un réel positif et dont la somme des éléments de chaque ligne vaut 1. Cela correspond, en théorie des probabilités, à la matrice de transition d'une chaîne de Markov. Une matrice est dite stochastique si toutes ses entrées sont positives (ou nulles) et si, pour tout , on a c'est-à-dire que la somme des coordonnées de chaque ligne vaut 1. Une matrice stochastique est dite régulière s'il existe un entier tel que la matrice ne contient que des réels strictement positifs. Une matrice est dite bistochastique (ou doublement stochastique) si la somme des éléments de chaque ligne et de chaque colonne vaut 1, autrement si et sa transposée sont stochastiques. Une autre caractérisation des matrices stochastiques est donnée par : est une matrice stochastique si et seulement si (ses coefficients sont positifs ou nuls) et , où désigne le vecteur de dont toutes les coordonnées valent 1. est bistochastique si , et , où est le vecteur transposé de . D'après la propriété précédente, puisque 1 est une valeur propre de avec comme vecteur propre à droite le vecteur colonne dont toutes les coordonnées valent 1 : Si est une matrice stochastique, on appelle vecteur stable pour un vecteur ligne non nul tel que , autrement dit : un vecteur propre à gauche pour la valeur propre 1 (et possède toujours au moins un vecteur stable). Une caractérisation du rayon spectral d'une matrice stochastique est donnée par : Si est une matrice stochastique, alors pour tout , de sorte que le rayon spectral . Or, comme , on a en fait . Ainsi, le rayon spectral d'une matrice stochastique vaut précisément 1. D'autres résultats sont donnés par : Le produit de deux matrices stochastiques est stochastique. Toute matrice stochastique indexée par E×E opère sur l'espace des applications bornées de E dans . Si est une matrice stochastique et si est une probabilité alors est une probabilité.