Dimension homologique

En algèbre, la dimension homologique d'un anneau R diffère en général de sa dimension de Krull et se définit à partir des résolutions projectives ou injectives des R-modules. On définit également la dimension faible à partir des résolutions plates des R-modules. La dimension de Krull (respectivement homologique, faible) de R peut être vue comme une mesure de l'éloignement de cet anneau par rapport à la classe des anneaux artiniens (resp. semi-simples, ), cette dimension étant nulle si, et seulement si R est artinien (resp. semi-simple, régulier au sens de von Neumann). Dans le cas d'un anneau commutatif noethérien R, ces trois dimensions coïncident si R est régulier, en particulier si sa dimension homologique est finie. Soit un R-module. La suite exacteest appelée une résolution gauche de . Si pour tout , le module est projectif (respectivement plat, libre), cette résolution est dite projective (resp. plate, libre). Si et pour tout , cette résolution est dite de longueur . S'il n'existe pas de tel entier , cette résolution est dite de longueur infinie. La suite exacteest appelée une résolution droite de . Si pour tout , le module est injectif, cette résolution est dite injective. On définit comme plus haut la longueur d'une résolution injective. Tout R-module admet des résolutions libres, et donc des résolutions projectives et plates. Tout R-module admet également des résolutions injectives. Dans ce qui suit, et l'on prend pour convention que pour tout , , et . Soit un R-module à gauche. Sa dimension projective (resp. injective, plate), notée (resp. ) est la borne inférieure dans des longueurs des résolutions projectives (resp. injectives, plates) de . On a . Pour que soit projectif (resp. injectif, plat) il faut et il suffit que (resp. ). Nous ne revenons pas ici sur la dimension de Krull. Soit la catégorie des R-modules à gauche. Les quantités suivantes sont égales : Leur valeur commune est appelée la dimension globale à gauche de R et est notée dans ce qui suit .