Somme (arithmétique)

En mathématiques, la somme de deux nombres est le résultat de leur addition. Les éléments additionnés s’appellent les termes de la somme. Elle se calcule de différentes manières selon le système de numération employé. Du fait de la commutativité et de l'associativité de l'addition, la somme d'un ensemble fini de nombres est bien définie indépendamment de l'ordre dans lequel est faite l'addition, mais il n'existe pas toujours de formule réduite pour l'exprimer. Les méthodes employées pour obtenir de telles formules sont liées à l'étude des séries numériques. Les sommes de suites de nombres peuvent être notées à l'aide du symbole somme , dont la graphie évoque la lettre grecque sigma capitale. La limite d'une série est également appelée une somme, même si elle ne s'obtient pas directement par une addition finie. vignette|upright=0.5|La lettre grecque sigma en capitale. La notation mathématique utilise un symbole qui représente la somme d'une suite de termes : le symbole de sommation, Σ, une forme élargie de la lettre grecque sigma capitale. Celui-ci est défini comme suit : où i représente l'indice de sommation ; ai est une variable indexée représentant chaque nombre successif de la série ; m est la limite inférieure de sommation, et n est la limite supérieure de sommation. Le « i = m » sous le symbole de sommation signifie que l'indice i débute avec la valeur m. L'indice, i, est incrémenté de 1 à chaque itération, et s'arrêtant quand i = n. Voici un exemple montrant une somme de carrés : La notation informelle omet parfois la définition de l'indice et de ses limites de sommation lorsque ceux-ci sont clairs au vu du contexte, comme dans : On voit souvent des généralisations de cette notation dans lesquelles une condition logique arbitraire est fournie, et la somme est destinée à prendre en charge toutes les valeurs satisfaisant cette condition. Par exemple : est la somme de sur tous les (entiers) dans un ordre spécifique, est la somme de sur tous les de l'ensemble (si est l'ensemble vide, la somme est nulle : voir « Somme vide »), et est la somme de sur tous les entiers positifs divisant .