Courant de probabilité

En mécanique quantique, le courant de probabilité est un concept décrivant le flux de densité de probabilité. Tout comme la loi de conservation de la charge en électrodynamique, il existe une loi de conservation de la densité de probabilité en mécanique quantique. Intuitivement, cette dernière indique que lorsque la densité de probabilité dans un volume fixé varie dans le temps, alors il doit exister un flux de densité de probabilité à travers les parois de ce volume. La notion de courant de probabilité permet de décrire ce flux de probabilité. La densité de probabilité satisfait une condition de conservation locale. En notant le courant de probabilité, cette condition de conservation locale (aussi appelée équation de continuité) se note : avec la fonction d'onde représentant l'amplitude de probabilité et, par définition, , la densité de probabilité. Cette condition est satisfaite pour une propagation libre si l'on définit comme suit : Du théorème de la divergence, on a (en partant de l'équation de continuité) que : avec un volume (fixé), le bord de ce volume et le vecteur normal à la surface. Explicitement cette dernière relation signifie que le courant de probabilité passant à travers une surface (fermée) est égal à la diminution en probabilité de trouver la particule dans le volume borné par cette surface. Le courant de probabilité apparait comme la valeur moyenne de l'opérateur courant de probabilité suivant : Où est l'opérateur vitesse (qui n'est pas toujours égal à l'opérateur impulsion). est donc l'opérateur symétrique qui correspond au produit de la densité de probabilité de présence et de la vitesse. On suppose que est la fonction d'onde correspondant à l'amplitude de probabilité d'une particule (dans l'espace des positions). La probabilité de trouver la particule dans un certain volume est donnée par en prenant la dérivée temporelle de cette probabilité et en utilisant la règle de Leibniz pour la dérivée d'une intégrale paramétrique, on a : L'équation de Schrödinger donne : avec m la masse de la particule, le laplacien et V un potentiel (une fonction réelle).