Fibré associé
En géométrie différentielle, un fibré associé est un fibré qui est induit par un -fibré principal et une action du groupe structurel sur un espace auxiliaire. Soient : un groupe de Lie ; une variété différentielle ; un -fibré principal sur ; l'action de groupe à droite de sur ; une action de groupe à gauche de sur une variété différentielle . Définition Le fibré associé à pour est le fibré où est défini par : où la relation d'équivalence est : Remarques Les fibres de sont de fibre type . Il est donc commun d'écrire le fibré comme . Lorsque l'action de groupe est une représentation de groupe sur un espace vectoriel , le fibré associé est un fibré vectoriel de fibre type . Lorsque agit trivialement sur , i.e. pour tout , le fibré associé est trivial, i.e. . Donnons-nous un fibré vectoriel associé . Les sections du fibré sont en bijection avec les fonctions qui sont -équivariantes : Explicitement, la relation entre la section et la fonction est : Ici, dénote la classe d'équivalence pour la relation d'équivalence ci-haut. La notion de section d'un fibré associé se généralise à la notion de forme différentielle à valeurs en un fibré associé. Ces dernières formes différentielles correspondent à des formes basiques sur . Exemple 1 : Soit le fibré des repères linéaires tangents à . Point par point sur la variété , les éléments du fibré des repères sont les isomorphismes linéaires allant de l'espace à l'espace tangent de : Le fibré des repères est un -fibré principal sur . Considérons la représentation canonique du groupe structurel sur l'espace vectoriel . Alors, le fibré tangent de est un fibré associé du fibré des repères : De même, le fibré cotangent de est un fibré associé pour la représentation duale de la représentation canonique : Exemple 2 : Soit le groupe des nombres complexes non nuls munis de la multiplication. Donnons-nous un -fibré principal . Considérons la représentation canonique de sur : Le fibré associé à via est un fibré en droites complexes . Un tel fibré vectoriel apparaît, par exemple, en quantification géométrique.