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Fibré associé

En géométrie différentielle, un fibré associé est un fibré qui est induit par un -fibré principal et une action du groupe structurel sur un espace auxiliaire. Soient : un groupe de Lie ; une variété différentielle ; un -fibré principal sur ; l'action de groupe à droite de sur ; une action de groupe à gauche de sur une variété différentielle . Définition Le fibré associé à pour est le fibré où est défini par : où la relation d'équivalence est : Remarques Les fibres de sont de fibre type . Il est donc commun d'écrire le fibré comme . Lorsque l'action de groupe est une représentation de groupe sur un espace vectoriel , le fibré associé est un fibré vectoriel de fibre type . Lorsque agit trivialement sur , i.e. pour tout , le fibré associé est trivial, i.e. . Donnons-nous un fibré vectoriel associé . Les sections du fibré sont en bijection avec les fonctions qui sont -équivariantes : Explicitement, la relation entre la section et la fonction est : Ici, dénote la classe d'équivalence pour la relation d'équivalence ci-haut. La notion de section d'un fibré associé se généralise à la notion de forme différentielle à valeurs en un fibré associé. Ces dernières formes différentielles correspondent à des formes basiques sur . Exemple 1 : Soit le fibré des repères linéaires tangents à . Point par point sur la variété , les éléments du fibré des repères sont les isomorphismes linéaires allant de l'espace à l'espace tangent de : Le fibré des repères est un -fibré principal sur . Considérons la représentation canonique du groupe structurel sur l'espace vectoriel . Alors, le fibré tangent de est un fibré associé du fibré des repères : De même, le fibré cotangent de est un fibré associé pour la représentation duale de la représentation canonique : Exemple 2 : Soit le groupe des nombres complexes non nuls munis de la multiplication. Donnons-nous un -fibré principal . Considérons la représentation canonique de sur : Le fibré associé à via est un fibré en droites complexes . Un tel fibré vectoriel apparaît, par exemple, en quantification géométrique.

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G-structure on a manifold
In differential geometry, a G-structure on an n-manifold M, for a given structure group G, is a principal G-subbundle of the tangent frame bundle FM (or GL(M)) of M. The notion of G-structures includes various classical structures that can be defined on manifolds, which in some cases are tensor fields. For example, for the orthogonal group, an O(n)-structure defines a Riemannian metric, and for the special linear group an SL(n,R)-structure is the same as a volume form.
Principal homogeneous space
In mathematics, a principal homogeneous space, or torsor, for a group G is a homogeneous space X for G in which the stabilizer subgroup of every point is trivial. Equivalently, a principal homogeneous space for a group G is a non-empty set X on which G acts freely and transitively (meaning that, for any x, y in X, there exists a unique g in G such that x·g = y, where · denotes the (right) action of G on X).
Fibré principal
En topologie, de manière informelle, un fibré principal sur un espace topologique X est un espace ressemblant localement à un produit de X par un groupe topologique. En particulier, un fibré principal est un espace fibré, mais c'est bien plus encore. Il est muni d'un groupe, le groupe structural, décrivant la manière dont les trivialisations locales se recollent entre elles. La théorie des fibrés principaux recouvre la théorie des fibrés vectoriels, de leurs orientations, de leurs structures riemanniennes, de leurs structures symplectiques, etc.
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