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Concept
Fibré associé
Résumé
En géométrie différentielle, un fibré associé est un fibré qui est induit par un -fibré principal et une action du groupe structurel sur un espace auxiliaire.
Soient :
un groupe de Lie ;
une variété différentielle ;
un -fibré principal sur ;
l'action de groupe à droite de sur ;
une action de groupe à gauche de sur une variété différentielle .
Définition
Le fibré associé à pour est le fibré où est défini par :
où la relation d'équivalence est :
Remarques
Les fibres de sont de fibre type . Il est donc commun d'écrire le fibré comme .
Lorsque l'action de groupe est une représentation de groupe sur un espace vectoriel , le fibré associé est un fibré vectoriel de fibre type .
Lorsque agit trivialement sur , i.e. pour tout , le fibré associé est trivial, i.e. .
Donnons-nous un fibré vectoriel associé .
Les sections du fibré sont en bijection avec les fonctions qui sont -équivariantes :
Explicitement, la relation entre la section et la fonction est :
Ici, dénote la classe d'équivalence pour la relation d'équivalence ci-haut.
La notion de section d'un fibré associé se généralise à la notion de forme différentielle à valeurs en un fibré associé.
Ces dernières formes différentielles correspondent à des formes basiques sur .
Exemple 1 :
Soit le fibré des repères linéaires tangents à .
Point par point sur la variété , les éléments du fibré des repères sont les isomorphismes linéaires allant de l'espace à l'espace tangent de :
Le fibré des repères est un -fibré principal sur .
Considérons la représentation canonique du groupe structurel sur l'espace vectoriel .
Alors, le fibré tangent de est un fibré associé du fibré des repères :
De même, le fibré cotangent de est un fibré associé pour la représentation duale de la représentation canonique :
Exemple 2 :
Soit le groupe des nombres complexes non nuls munis de la multiplication.
Donnons-nous un -fibré principal .
Considérons la représentation canonique de sur :
Le fibré associé à via est un fibré en droites complexes . Un tel fibré vectoriel apparaît, par exemple, en quantification géométrique.
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