Ennéagone

Un ennéagone, ou nonagone, est un polygone à , donc et . La somme des angles internes d'un ennéagone non croisé vaut , soit . Un ennéagone régulier est un ennéagone dont les neuf côtés ont la même longueur et dont les angles internes ont même mesure. Il y en a trois : deux étoilés (les ennéagrammes notés {9/2} et {9/4}) et un convexe, noté {9}. C'est de ce dernier qu'il s'agit lorsqu'on parle de « l'ennéagone régulier ». Si le côté a pour longueur a : chacun des 9 angles internes mesure = 140° ; chaque angle au centre mesure = 40° ; le rayon du cercle circonscrit vaut l'apothème (le rayon du cercle inscrit) est (a/2) cot(π/9) ; La grande diagonale a pour longueur ; l'aire est égale à Un ennéagone régulier n'est pas constructible avec seulement une règle (non marquée) et un compas, car le nombre 9 ne satisfait pas la condition du théorème de Gauss-Wantzel. Il l'est, par contre, « par neusis », avec une règle marquée et un compas. Pour construire un ennéagone régulier dont un des côtés est le segment AB, de longueur u, on procède ainsi : appelons D1 la droite contenant A et B ; tracer les cercles C1 de centre A passant par B, et le cercle C2 de centre B passant par A. Ces deux cercles se coupent en deux points E et F, F étant le point du demi-plan d'origine D1 dans lequel on veut situer le centre de l'ennéagone ; tracer la droite D2 passant par E et F ; tracer le cercle C3 de centre F passant par A ; tracer les droites D3 et D4, passant par F et, respectivement, par A et B ; marquer la règle de deux points X et Y distants de u égal au segment AB qui est le côté du triangle équilatéral ; faire glisser la règle marquée en pivotant autour du point B et en maintenant la marque X sur D3, avec la marque Y entre X et B, jusqu'à ce que la marque Y de la règle se trouve sur le cercle C3, en un point H. La marque X se trouve alors en un point G sur la droite D3. Tracer la droite D5 passant par B, H et G ; tracer le cercle C4 de centre B passant par G, et le cercle C5 de centre G passant par B.