Semi-continuité

En analyse mathématique, la semi-continuité est une propriété des fonctions définies sur un espace topologique et à valeurs dans la droite réelle achevée = R ∪ {–∞, +∞} ; il s'agit d'une forme faible de la continuité. Intuitivement, une telle fonction f est dite semi-continue supérieurement en x si, lorsque x est proche de x, f(x) est soit proche de f(x), soit inférieur à f(x). Pour définir semi-continue inférieurement, on remplace « inférieur à » par « supérieur à » dans la définition précédente. Considérons la fonction f définie par f(x) = 0 pour x ≠ 0 et f(0) = 1. Cette fonction est semi-continue supérieurement, mais non semi-continue inférieurement. Plus généralement, la fonction caractéristique d'une partie A d'un espace topologique est semi-continue supérieurement si et seulement si A est fermé et semi-continue inférieurement si et seulement si A est ouvert. La fonction partie entière f(x) = ⌊x⌋, qui retourne le plus grand entier inférieur ou égal au x donné, est semi-continue supérieurement. La fonction f définie par f(x) = sin(1/x) pour x ≠ 0 et f(0) = 1 est semi-continue supérieurement (mais n'admet pas de limite à gauche ni à droite en 0). La fonction de répartition d'une variable aléatoire réelle est semi-continue supérieurement. L'application rang (taille du plus grand mineur non nul), de M(R) dans R, est semi-continue inférieurement, mais pas supérieurement, sauf aux points où elle atteint sa valeur maximum, min(m, n). L'application longueur d'un arc dans un espace métrique E, ou plus généralement variation totale V(f) d'une fonction f d'un ensemble totalement ordonné I dans E, est semi-continue inférieurement, sur l'espace de fonctions bornées B(I, E) (muni de la topologie de la convergence uniforme). Cela signifie exactement que pour tout réel positif r, la partie est fermée dans B(I, E). Soit X un espace topologique, x un point de X et f une fonction de X dans . On dit que f est semi-continue supérieurement en x si : pour tout , il existe un voisinage U de x tel que Si on est dans un espace métrique, la propriété suivante suffit : où lim sup désigne la limite supérieure d'une fonction en un point.