Sphère cornue d'Alexander

En mathématiques, et plus précisément en topologie, la sphère cornue d'Alexander est un célèbre exemple de surface pathologique ; elle fut découverte en 1923 par J. W. Alexander. vignette|Construction animée de la sphère d'Alexandre. Il semble évident qu'une courbe fermée simple (ne se recoupant pas) du plan le découpe en deux régions (l'intérieur et l'extérieur) et qu'on peut déformer la courbe (et les deux régions séparées) pour la transformer en un cercle. Ce résultat (le théorème de Jordan, ou plus précisément, concernant la possibilité de déformation, le théorème de Jordan–Schoenflies) est correct, mais sa démonstration est fort délicate et très technique. On pouvait penser qu'un résultat analogue concernant les surfaces fermées de l'espace était également vrai : la sphère cornue en est un contre-exemple célèbre, dont la construction, due à James Wadell Alexander, a été obtenue en 1923. L'idée intuitive de la construction d'Alexander est de rajouter à la sphère usuelle des « cornes » se ramifiant et s'entrelaçant indéfiniment. Plus rigoureusement, la sphère cornue est un plongement (topologique) de la sphère dans l'espace euclidien à 3 dimensions, obtenu par la construction suivante : partant du tore, retirer une tranche radiale du tore ; connecter deux nouveaux tores percés d'un trou de chaque côté de la coupe (voir l'article somme connexe), les deux tores étant entrelacés ; recommencer les opérations 1 et 2 sur les tores qui viennent d'être ajoutés, et ce indéfiniment (la taille des tores étant divisée par 2 à chaque étape). En ne considérant que les points ajoutés à l'étape 2 et qui ne sont jamais retirés lors des étapes 1 ultérieures, on obtient un plongement de la sphère à laquelle a été retiré un ensemble de Cantor. Ce plongement peut être prolongé à la sphère entière, car des suites de points s'approchant de deux points distincts de l'ensemble de Cantor, distants de d, restent toujours séparés d'une distance supérieure à d/2.