Variété (géométrie)

Résumé

En mathématiques, et plus particulièrement en géométrie, la notion de variété peut être appréhendée intuitivement comme la généralisation de la classification qui établit qu'une courbe est une variété de dimension 1 et une surface est une variété de dimension 2. Une variété de dimension n, où n désigne un entier naturel, est un espace topologique localement euclidien, c'est-à-dire dans lequel tout point appartient à une région qui s'apparente à un tel espace. On peut approcher les variétés de deux façons :

En les construisant par recollement d'autres espaces simples, comme les enfants s'amusent à construire avec du papier des tétraèdres, des cubes et autres polyèdres en dessinant la figure d'un patron sur une feuille, en découpant convenablement les bords, en pliant et en recollant ou comme on construit un vêtement en cousant ensemble des morceaux de tissus. Par exemple, les mathématiciens obtiennent un cercle en repliant un segment sur lui-même, un cylindre ou un cône en replia

Source officielle

https://fr.wikipedia.org/wiki/Vari%C3%A9t%C3%A9_(g%C3%A9om%C3%A9trie)

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Fundamental Group And Pluridifferentials On Compact Kahler Manifolds

Yohan Cédric Loup Brunebarbe

A compact Kahler manifold X is shown to be simply connected if its 'symmetric cotangent algebra' is trivial. Conjecturally, such a manifold should even be rationally connected. The relative version is also shown: a proper surjective connected holomorphic map f : X -> S between connected manifolds induces an isomorphism of fundamental groups if its smooth fibres are as above, and if X is Kahler.

Independent Univ Moscow-Ium2016

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Déformations conformes des variétés de Finsler-Ehresmann

Ratiba Djelid

An intrinsic approach to Finsler geometry is proposed. A concept of Finsler- Ehresmann manifold, denoted by (M,F,H), is introduced and a generalized Chern connection is built for this manifold. Conformal deformations on this manifold are considered. First, we have an analogous of Chern's theorem: we prove the existence and uniqueness of a generalized Chern connection for the manifold (M,F,H). Similarly, within an essentially koszulian formalism, we present two curvatures associated to this generalized connection, namely a R curvature and a P one. The second result is the deduction of conformal transformations laws for the generalized Chern connection and associated curvatures. The transformation of R seems to have very similar properties as that of the Riemannian curvature while that of P reveals other objects of pure Finslerian nature. Third, we construct the finsler Weyl and Schouten tensors W and S respectively and we study their conformal transformations. Furthermore, we show that for the dimension 3, the horizontal component of W for generalized Berwald manifolds is identically zero. The next result is a theorem of Weyl-Schouten type giving necessary and sufficient conditions for a Finsler-Ehresmann manifold to be conformaly R-flat. We complete this result by exploring the case of dimension 3 for Berwald spaces which gives a result very similar to the Riemannian case. In addition, we announce some necessary conditions to characterize conformal flatness of Finsler-Ehresmann manifolds.

EPFL2011

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Sharp estimates on the first eigenvalue of the p-Laplacian with negative Ricci lower bound

Daniele Valtorta

We complete the picture of sharp eigenvalue estimates for the -Laplacian on a compact manifold by providing sharp estimates on the first nonzero eigenvalue of the nonlinear operator when the Ricci curvature is bounded from below by a negative constant. We assume that the boundary of the manifold is convex, and put Neumann boundary conditions on it. The proof is based on a refined gradient comparison technique and a careful analysis of the underlying model spaces.

Springer Verlag2014

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