Espace localement connexe

En mathématiques, plus précisément en topologie, un espace localement connexe est un espace topologique pouvant être décrit à l’aide de ses ouverts connexes. En topologie, on dit qu’un espace est connexe lorsqu’il est fait « d’une seule pièce ». La question naturelle qui suit est de savoir si tout espace topologique peut être décrit comme la réunion disjointe (dans la catégorie des espaces topologiques) de ses composantes connexes ; en d’autres termes, peut-on considérer que lorsqu’on connait toutes les « pièces » d’un espace topologique, on sait tout de cet espace ? Une condition nécessaire et suffisante pour cela est que toutes les composantes connexes soient ouvertes. La réponse est donc en général négative. Par exemple, l’ensemble Q des nombres rationnels muni de sa topologie usuelle a pour composantes connexes les singletons — on dit alors que Q est totalement discontinu. Or une union disjointe (dans la catégorie des espaces topologiques) de singletons est un espace discret donc non homéomorphe à Q. On dit alors qu’un espace topologique est localement connexe lorsqu’il est homéomorphe à l’union disjointe de ses composantes connexes et que cela est vrai aussi de chaque ouvert de cet espace. Distinguer les espaces grâce à leurs composantes connexes est le stade zéro de la classification des espaces topologiques. De ce point de vue, l’utilisation des espaces localement connexes est motivée par la remarque suivante. Le foncteur π qui à tout espace topologique associe l’ensemble de ses composantes connexes n’a pas les bonnes propriétés — il ne commute pas à toutes les limites inductives. Il les acquiert si on le restreint à la catégorie des espaces localement connexes. Un espace X est localement connexe si et seulement si, pour tout ouvert U de X, les composantes connexes de U sont ouvertes (autrement dit : si les ouverts connexes forment une base de la topologie). En particulier, dans un espace localement connexe : tout ouvert est localement connexe ; les parties à la fois ouvertes et fermées sont exactement les unions de composantes connexes.