Loi de Cauchy (probabilités)

La loi de Cauchy, appelée aussi loi de Lorentz, est une loi de probabilité continue qui doit son nom au mathématicien Augustin Louis Cauchy. Une variable aléatoire X suit une loi de Cauchy si sa densité , dépendant des deux paramètres et ( > 0) est définie par : La fonction ainsi définie s'appelle une lorentzienne. Elle apparaît par exemple en spectroscopie pour modéliser des raies d'émission. Cette distribution est symétrique par rapport à (paramètre de position), le paramètre donnant une information sur l'étalement de la fonction (paramètre d'échelle). L'inverse d'une variable aléatoire, de loi de Cauchy, suit une loi de Cauchy. Le quotient de deux variables aléatoires réelles indépendantes suivant des lois normales standards suit une loi de Cauchy. La loi de Cauchy (avec notamment la loi normale et la loi de Lévy) est un cas particulier de loi stable. La fonction densité de probabilités est une fonction lorentzienne : où x est un paramètre de localisation situant le pic de la fonction, et a est un paramètre d'échelle qui définit la moitié de la largeur à mi-hauteur. La fonction de la loi de Cauchy standard est : La fonction de répartition est : On en déduit la fonction quantile : L'entropie de la loi de Cauchy est donnée par : La loi de Cauchy est la loi de probabilités de maximum d'entropie pour une variable aléatoire X, avec La fonction caractéristique d'une loi de Cauchy est donnée par : La loi de Cauchy n'admet ni espérance ni écart type. Et il en va de même pour tout moment d'ordre supérieur. En effet, n'est pas intégrable au sens de Lebesgue car (à l'infini) d'où la divergence de l'intégrale : l'espérance n'existe pas. A fortiori, la loi de Cauchy n'admet pas d'écart-type, car diverge. Pour la même raison, les moments d'ordre supérieur n'existent pas non plus. Ainsi on ne peut pas lui appliquer la loi forte des grands nombres. Cependant, , qui en est la médiane, est souvent considéré comme la « moyenne » de la loi de Cauchy, car : thumb|300px|Moyenne empirique d'une série de valeurs suivant la loi de Cauchy.