Concept

Loi de Cauchy (probabilités)

Résumé
La loi de Cauchy, appelée aussi loi de Lorentz, est une loi de probabilité continue qui doit son nom au mathématicien Augustin Louis Cauchy. Une variable aléatoire X suit une loi de Cauchy si sa densité f_X, dépendant des deux paramètres x_0 et a (a > 0) est définie par : :\begin{align} f(x; x_0,a) &= \frac{1}{\pi a \left[1 + \left(\frac{x-x_0}{a}\right)^2\right]} \[0.5em] &= { 1 \over \pi } \left[ { a \over (x - x_0)^2 + a^2 } \right] \end{align} La fonction ainsi définie s'appelle une lorentzienne. Elle apparaît par exemple en spectroscopie pour modéliser des raies d'émission. Cette distribution est symétrique par rapport à x_0 (paramètre de position), le paramètre a donnant une information sur l'étalement de la fonction (paramètre d'échelle). L'inverse d'une variable aléatoire, de loi de Cauchy, suit une loi de Cauchy. Le quotient de deux variables aléatoires réelles indépendan
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Multivariate extremes over a random number of observations

Simone Padoan, Stefano Rizzelli

The classical multivariate extreme-value theory concerns the modeling of extremes in a multivariate random sample, suggesting the use of max-stable distributions. In this work, the classical theory is extended to the case where aggregated data, such as maxima of a random number of observations, are considered. We derive a limit theorem concerning the attractors for the distributions of the aggregated data, which boil down to a new family of max-stable distributions. We also connect the extremal dependence structure of classical max-stable distributions and that of our new family of max-stable distributions. Using an inversion method, we derive a semiparametric composite-estimator for the extremal dependence of the unobservable data, starting from a preliminary estimator of the extremal dependence of the aggregated data. Furthermore, we develop the large-sample theory of the composite-estimator and illustrate its finite-sample performance via a simulation study.
WILEY2020

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Fast recovery and approximation of hidden Cauchy structure

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We derive an algorithm of optimal complexity which determines whether a given matrix is a Cauchy matrix, and which exactly recovers the Cauchy points defining a Cauchy matrix from the matrix entries. Moreover, we study how to approximate a given matrix by a Cauchy matrix with a particular focus on the recovery of Cauchy points from noisy data. We derive an approximation algorithm of optimal complexity for this task, and prove approximation bounds. Numerical examples illustrate our theoretical results. (C) 2015 Elsevier Inc. All rights reserved.
Elsevier Science Inc2016
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