Conjecture de Ramanujan

En mathématiques, la conjecture de Ramanujan, due à Srinivasa Ramanujan (et démontrée par Pierre Deligne en 1973), prédit certaines propriétés arithmétiques ainsi que le comportement asymptotique de la fonction tau qu'il a définie. La conjecture de Ramanujan généralisée, ou conjecture de Ramanujan-Petersson, introduite par Hans Petersson en 1930, en est une généralisation à d'autres formes modulaires ou automorphes. La fonction zêta de Riemann et les fonctions L de Dirichlet sont égales à un produit eulérien (pris sur tous les p premiers, et où a est un caractère), (équation 1) ; ces caractères étant complètement multiplicatifs, on a également (équation 2). Les fonctions L des formes automorphes vérifient également l'équation (1), mais pas l'équation (2), les « caractères » correspondants n'étant pas complètement multiplicatifs. Ramanujan a cependant découvert que la fonction L du discriminant modulaire, appelée fonction L de Ramanujan, satisfaisait la relation modifiée (équation 3), où τ(p) est la fonction tau de Ramanujan définie par les coefficients de Fourier τ(n) de la forme parabolique Δ(z) de poids 12 (et donc comme les coefficients de la série entière correspondant au produit infini ) : avec . Le terme peut être vu comme un terme d'erreur (venant de ce que tau n'est pas complètement multiplicative). Ramanujan observa sur un grand nombre de valeurs de que le polynôme du second degré en , apparaissant dans l'équation (3), avait toujours deux racines non réelles (complexes conjuguées), et donc que τ(p) ≤ 2p11/2 ; c'est cette inégalité qui est appelée la conjecture de Ramanujan. Ramanujan a en fait conjecturé les trois propriétés suivantes de la fonction tau : τ est multiplicative, τ n'est pas complètement multiplicative, mais pour tout p premier et j entier > 0, on a : τ(p j+1) = τ(p)τ(p j ) −p11τ(p j−1 ), et τ(p) ≤ 2p11/2 Le caractère multiplicatif de τ (s'il est démontré) permet d'en déduire (pour tout n) le résultat un peu plus faible, pour tout ε > 0 : (où O est la notation de Landau).