Calcul opérationnel

En mathématiques et plus précisément en analyse fonctionnelle, le calcul opérationnel repose essentiellement sur un astucieux changement de variable basé sur la transformée de Laplace permettant l'algébrisation des symboles de dérivation et d'intégration des expressions mathématiques décrivant les phénomènes linéaires. Certains ingénieurs emploient de préférence la transformation de « Laplace-Carson », une constante ayant comme image la même constante. L'expression : permet d'associer à toute fonction d'une variable dite « fonction origine » une « fonction image » . Ainsi la solution algébrique de l'équation image permet de retrouver, au moyen d'un tableau de correspondance opératoire, la solution de l'équation origine. La transformation directe est notée : image de . La transformation inverse est notée : original de . La correspondance entre fonctions originales et fonctions images s'établit comme suit : est l'original de , est l'original de , est l'original de , est l'original de . Pour , on obtient l'image . Ainsi, est l'original de , est l'original de , est l'original de . D'une manière générale, par récurrence pour tout entier positif n, on obtient : original de . Si , la parenthèse devient : expression qui tend vers lorsque ; dans ce cas l'image de est . Pour réel, le tableau de correspondance opératoire s'établit comme suit : Pour Si , l'image de est : Si , la valeur de est égale à zéro pour , idem pour la valeur de la fonction image lorsque . L'hypothèse fondamentale du calcul opérationnel est que toutes fonctions d'origine f(t) ont une valeur nulle pour toute valeur de t négative. Bien que négligé la plupart du temps dans la pratique, il convient cependant d'écrire les fonctions d'origines comme facteur de la fonction , dite fonction échelon-unité. Exemple : la forme d'origine de est . La fonction U(t) échelon-unité est nulle pour toute valeur négative de t et égale à 1 pour toute valeur positive de t. Elle est représentée ci-dessous. Son symbole est la lettre grecque Upsilon majuscule et se lit « grand upsilon » de t.