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Concept
Transformation de Fourier
Résumé
thumb|Portrait de Joseph Fourier.
En mathématiques, plus précisément en analyse, la transformation de Fourier est une extension, pour les fonctions non périodiques, du développement en série de Fourier des fonctions périodiques. La transformation de Fourier associe à toute fonction intégrable définie sur R et à valeurs réelles ou complexes, une autre fonction sur R appelée transformée de Fourier dont la variable indépendante peut s'interpréter en physique comme la fréquence ou la pulsation.
La transformée de Fourier représente une fonction par la densité spectrale dont elle provient, en tant que moyenne de fonctions trigonométriques de toutes fréquences. La théorie de la mesure ainsi que la théorie des distributions permettent de définir rigoureusement la transformée de Fourier dans toute sa généralité, elle joue un rôle fondamental dans l'analyse harmonique.
Lorsqu'une fonction représente un phénomène physique, comme l'état du champ électromagnétique ou du champ acoustique en un point, on l'appelle signal et sa transformée de Fourier s'appelle son spectre.
La transformation de Fourier est une opération qui transforme une fonction intégrable sur R en une autre fonction, décrivant le spectre fréquentiel de cette dernière. Si f est une fonction intégrable sur R, sa transformée de Fourier est la fonction donnée par la formule :
Il est possible de choisir une définition alternative pour la transformation de Fourier. Ce choix est une affaire de convention dont les conséquences ne se manifestent (en général) que par des facteurs multiplicatifs constants. Par exemple, certains scientifiques utilisent ainsi :
avec t en secondes et ν la fréquence (en hertz).
Certains utilisent (pour des raisons de symétrie avec la transformation de Fourier inverse) la transformation suivante :
avec t en secondes et ω la pulsation (en radians par seconde).
Cette définition n'est cependant pas adaptée au traitement des produits de convolution : à cause du facteur , on a , à moins d'introduire un tel facteur dans la définition du produit de convolution.
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