Êtes-vous un étudiant de l'EPFL à la recherche d'un projet de semestre?
Travaillez avec nous sur des projets en science des données et en visualisation, et déployez votre projet sous forme d'application sur Graph Search.
Concept
Transformation de Laplace
Résumé
En mathématiques, la transformation de Laplace est une transformation intégrale qui à une fonction f — définie sur les réels positifs et à valeurs réelles — associe une nouvelle fonction F — définie sur les complexes et à valeurs complexes — dite transformée de Laplace de f.
L'intérêt de la transformation de Laplace vient de la conjonction des deux faits suivants :
De nombreuses opérations courantes sur la fonction originale f se traduisent par une opération algébrique sur la transformée F. Par exemple, la transformée de la dérivée est la fonction De même, la transformée de est la fonction .
Bien que n'étant pas à proprement parler injective, la transformation de Laplace est inversible — au sens qu'il est possible de retrouver (à un ensemble de mesure nulle près) la fonction originale f à partir de sa transformée F.
Ces deux points font de la transformée de Laplace un outil utile à la résolution d'équations différentielles : la méthode consiste à (1) transformer une équation différentielle sur la fonction f en une équation algébrique sur sa transformée F; (2) résoudre cette équation algébrique pour déterminer F; et (2) en déduire f par transformation de Laplace inverse. Dans ce type d'analyse, la transformation de Laplace est souvent interprétée comme un passage du domaine temporel (dans lequel les entrées et sorties sont des fonctions de la variable t représentant le temps) au domaine fréquentiel (la variable pouvant s'interpréter comme une « fréquence complexe » d'amplitude et de phase ).
La transformation de Laplace généralise la transformation de Fourier, également utilisée pour résoudre les équations différentielles. Contrairement à cette dernière, elle tient compte des conditions initiales et peut ainsi être utilisée en théorie des vibrations mécaniques ou en électricité dans l'étude des régimes forcés sans négliger le régime transitoire. Elle converge pour toutes les fonctions qui, pondérées par une exponentielle, admettent une transformée de Fourier ; par conséquent les fonctions admettant une transformée de Fourier admettent toutes une transformée de Laplace, mais la réciproque n'est pas vraie.
Source officielle
À propos de ce résultat
Cette page est générée automatiquement et peut contenir des informations qui ne sont pas correctes, complètes, à jour ou pertinentes par rapport à votre recherche. Il en va de même pour toutes les autres pages de ce site. Veillez à vérifier les informations auprès des sources officielles de l'EPFL.