Transformation de Laplace

Résumé

En mathématiques, la transformation de Laplace est une transformation intégrale qui à une fonction f — définie sur les réels positifs et à valeurs réelles — associe une nouvelle fonction F — définie sur les complexes et à valeurs complexes — dite transformée de Laplace de f. L'intérêt de la transformation de Laplace vient de la conjonction des deux faits suivants :

De nombreuses opérations courantes sur la fonction originale f se traduisent par une opération algébrique sur la transformée F. Par exemple, la transformée de la dérivée f' est la fonction p \mapsto p,F(p) - f(0). De même, la transformée de t \mapsto f(t - \tau) est la fonction p \mapsto e^{-p\tau} F(p).

Bien que n'étant pas à proprement parler injective, la transformation de Laplace est inversible — au sens qu'il est possible de retrouver (à un ensemble de mesure nulle près) la fonction originale

Source officielle

https://fr.wikipedia.org/wiki/Transformation_de_Laplace

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The aim of the project is double: to understand the flexibility of the Isogeometric Analysis tools through the solution of some PDEs problems; to test the improvement in the computational time given by a partial loops vectorization at compile-time of the LifeV IGA code. Three different appli- cations have been selected: the potential flow problem around an airfoil profile, the heat equation problem in a bent cylinder and the Laplace problem in a multi-patches geometry representing a blood vessels bifurcation. The geometries used are built through the NURBS package available with the software GeoPDEs. The numerical analysis of the first application is performed with both GeoPDEs and LifeV IGA code. The comparison between different implementations shows that the degrees of freedom loop vectorization at compile-time is able to reduce the matrix assembling time of around 20%. The automatic vectorization at compile-time of the loop on the elements requires too much computational effort without having a reasonable improvement in the running time performances. Unsteady problems and multi-patches geometry have not been tested with LifeV IGA code, but GeoPDEs results show the expected solutions.

2012

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Application of optimal spline subspaces for the removal of spurious outliers in isogeometric discretizations

Espen Sande

We show that isogeometric Galerkin discretizations of eigenvalue problems related to the Laplace operator subject to any standard type of homogeneous boundary conditions have no outliers in certain optimal spline subspaces. Roughly speaking, these optimal subspaces are obtained from the full spline space defined on certain uniform knot sequences by imposing specific additional boundary conditions. The spline subspaces of interest have been introduced in the literature some years ago when proving their optimality with respect to Kolmogorov n-widths in L2-norm for some function classes. The eigenfunctions of the Laplacian - with any standard type of homogeneous boundary conditions - belong to such classes. Here we complete the analysis of the approximation properties of these optimal spline subspaces. In particular, we provide explicit L2 and H1 error estimates with full approximation order for Ritz projectors in the univariate and in the multivariate tensor-product setting. Besides their intrinsic interest, these estimates imply that, for a fixed number of degrees of freedom, all the eigenfunctions and the corresponding eigenvalues are well approximated, without loss of accuracy in the whole spectrum when compared to the full spline space. Moreover, there are no spurious values in the approximated spectrum. In other words, the considered subspaces provide accurate outlier-free discretizations in the univariate and in the multivariate tensor-product case. This main contribution is complemented by an explicit construction of B-spline-like bases for the considered spline subspaces. The role of such spaces as accurate discretization spaces for addressing general problems with non-homogeneous boundary behavior is discussed as well. c 2021 Elsevier B.V. All rights reserved.

ELSEVIER SCIENCE SA2022

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Basé sur un travail théorique traitant de la multiethnicité sur un même territoire, le projet cherche à rassembler des peuples pour une nouvelle cohabitation, initiée par l'architecture, et s'appuyant sur la culture et le sport. Le projet s'implante sur le site de la gare désaffectée qui a laissé un vide spatial bien desservi et à proximité du centre-ville. Les traces laissées par l'ancienne affectation dessinent un parc public, qui devient un espace de rassemblement à l'échelle de la ville mais aussi du pays, grâce à la gare réactivée, génératrice de flux importants. Le parc devient la colonne vertébrale du projet, autour duquel viennent s'articuler des programmes publics. La conception d'un pôle culturel, composé principalement d'un grand théâtre, art dramatique ancré dans la culture locale et éradiqué avant la guerre, est pertinente. Le bâtiment profite de la hauteur de la cage de scène du théâtre pour devenir le nouveau signal d'une ville à constructions basses. L'orientation du bâtiment offre aux foyers une relation plus intime et privilégiée avec la rivière qui traverse la ville. Un nouveau stade de football pallie les infrastructures sportives désuètes. Il se rattache à la nouvelle gare, routière et ferroviaire, afin d'optimiser son accessibilité. Le stade est semi-enterré afin de suivre les gabarits bas de la ville, et couvert par une structure indépendante qui s'étend sur l'espace public et la gare.

2013

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