L'algèbre élémentaire, également appelée algèbre classique est la branche des mathématiques dont l'objet est l'étude des opérations algébriques (addition, multiplication, soustraction, division et extraction de racine) sur les nombres réels ou complexes, et dont l'objectif principal est la résolution d'équations polynomiales.
Le qualificatif d'élémentaire (ou classique) est destiné à la différencier de l'algèbre générale (ou moderne), qui étudie les structures algébriques (groupes, corps commutatifs, etc.) généralisant les notions de nombre et d'opération. Elle se différencie également de l'arithmétique élémentaire par l'usage de lettres pour représenter les nombres inconnus.
En ce sens, l'adjectif algébrique peut, suivant les cas, être un synonyme de polynomial (comme dans courbe algébrique) ou l'antonyme d'arithmétique.
Une expression algébrique est constituée de nombres, de lettres et de signes opératoires :
le signe est utilisé pour marquer l'addition.
le signe est utilisé pour marquer la soustraction.
les signes ou sont utilisés pour marquer la multiplication. Quand la multiplication concerne deux lettres, il est possible d'écrire au lieu de .
le signe est utilisé pour marquer la division, pouvant également s'écrire .
Par exemple :
Le produit d'un nombre augmenté de 3 par lui-même s'écrit .
La différence des carrés de deux nombres et s'écrit
Évaluer une expression algébrique consiste à attribuer une valeur à chacune des variables, puis à effectuer le calcul arithmétique obtenu.
Par exemple évaluer l'expression pour consiste à effectuer le calcul .
L'addition :
s'écrit a + b ;
est commutative : a + b = b + a ;
est associative : (a + b) + c = a + (b + c) ;
a une application réciproque appelée soustraction : (a + b) − b = a, équivaut à additionner un nombre négatif, a − b = a + (−b) ;
a un élément neutre 0 qui conserve le nombre : a + 0 = a.
